3.3. Дисконтирование по сложной ставке

Определение дисконтирования по сложной ставке то же, что и по простой. Используя (3.1) и (3.4), получим формулы дисконтирования сложных процентов:

; . (3.6)

Множители и называются дисконтными множителями.

Разность D = S – P называется дисконтом с суммы S.

Пример 3.7. Сумма 24000 руб. выплачивается через 1,4 года. Номинальная ставка – 25% годовых. Определить современную стоимость при ежеквартальном начислении процентов?

Решение.

_{= = 18507,54 руб.}

3.4. Сложная учетная ставка

В практике учетных операций применяют сложную учетную ставку в тех случаях, когда процесс дисконтирования происходит с замедлением. В этом случае каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме, как при простой учетной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем шаге во времени, Поэтому сумма, выдаваемая банком при учете векселя, рассчитывается по формуле:

P = S (1 – d_сл)ⁿ, (3.7)

где d_сл – сложная учетная ставка.

Пример 3.8. Долговое обязательство на сумму 5 млн. руб., срок оплаты которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом по сложной учетной ставке 15% годовых. Каков размер полученной за долг суммы и величина дисконта?

Решение.

P = S (1 – d_сл)ⁿ = 5 (1 – 0,15)⁵ = 2,2185 млн. руб.

D = S – P = 5 – 2,2185 = 2,7815 млн. руб.

Номинальная и эффективная учетные ставки. Если дисконтирование производится не один, а m раз в году, т.е. каждый раз учет производится по ставке f/m, то это номинальная годовая учетная ставка.

P = S , (3.8)

где f – номинальная годовая учетная ставка.

Эффективная учетная ставка d_э характеризует результат дисконтирования за год. Определим ее на основе равенства дисконтных множителей:

(1 – d_э)ⁿ = ,

откуда d_э = 1 – и f = m . (3.9)

Для одних и тех же условий финансовой операции d_э  f.

Пример 3.9. Вексель на сумму 20000 тыс. руб., срок платежа по которому наступает через 1,8 года, учтен по сложной учетной ставке 18% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя при учете, при ежемесячном дисконтировании.

Решение.

P = S = 20000 = 14429,54 руб.

Наращение по сложной учетной ставке. Иногда наращенную сумму получают и с помощью сложной учетной ставки. Из формул (3.7) и (3.8) следует:

; . (3.10)

3.4.1. Срок ссуды и размер процентной ставки

Срок ссуды.

Процентные ставки	Формулы расчета n для различных условий наращения и дисконтирования
Сложная ставка r	n =	(3.11)
Номинальная ставка j	n =	(3.12)
Сложная годовая учетная ставка dсл	n =	(3.13)
Номинальная годовая учетная ставка f	n =	(3.14)

Пример 3.10. За какой срок в годах сумма, равная 75 млн. руб., достигнет 200 млн. руб. при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в году и поквартально?

Решение. По формулам (3.11) и (3.12) получим:

n = лет; n = = 6,6 лет.

Величина процентной ставки.

Процентные ставки	Формулы для расчета ставок r, j, dсл, f для различных условий наращения процентов и дисконтирования
Сложная ставка r	r =	(3.15)
Номинальная ставка j	j =	(3.16)
Сложная годовая учетная ставка dсл	dсл =	(3.17)
Номинальная годовая учетная ставка f	f =	(3.18)

Пример 3.11. Срок до погашения векселя равен 2 годам. Дисконт при его учете составил 30%. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт?

Решение. По данным задачи =0,7. По формуле (3.17) находим:

d_сл = = 0,1633 (16,33%).