6.3. Замена одного потока платежей другим

Рассмотрим общие случаи изменения условий выплат, предусматриваемых в контрактах, для которых решение нельзя получить простым суммированием приведенных на некоторую дату платежей. В таких случаях решение основывается на принципе эквивалентности платежей до и после изменения условий. Метод решения заключается в разработке соответствующего уравнения эквивалентности.

При начислении простых процентов уравнение эквивалентности имеет вид:

= ^(6.8)

В данной формуле n₀ называется базовой датой, на которую осуществляется расчет всех платежей. Выбор базовой даты влияет на искомую величину выплаты при использовании простых процентов и не влияет при использовании сложных процентов.

В левой части уравнения (6.8) в первую сумму входят все наращенные заменяемые платежи со сроками меньше базовой даты, а во вторую сумму входят все дисконтированные заменяемые платежи со сроками больше срока базовой даты. Эти же соображения относятся к замещающим платежам, представленным в правой части уравнения (6.8). Если базовая дата равна нулю, то в уравнении (6.8) остаются только дисконтированные составляющие:

^(6.9)

Из приведенных уравнений (6.8) и (6.9) определяют как недостающий платеж, так и недостающую дату.

Пример 6.7. Три платежа 8 тыс. руб., 10 тыс. руб. и 4 тыс. руб. с выплатами 1 апреля, 15 июня и 1 сентября данного года соответственно заменяются двумя, причем 1 июля выплачивается 20 тыс. руб., а остаток – 1 декабря этого же года. Стороны договорились об использовании простой ставки 25% (K = 360/360). Определить остаток долга при базовых датах 1 апреля, 1 июля и 1 декабря.

Решение.

1) При базовой дате 1 апреля уравнение эквивалентности можно записать на основе соотношения (6.9):

S₀ = 2688,07 руб.

2) При базовой дате 1 июля уравнение эквивалентности можно записать на основе соотношения (6.8):

S₀ = 2698,77 руб.

3) При базовой дате 1 декабря получим:

S₀ = 2645,83 руб.

Как следует из полученных результатов, остаток долга зависит от базовой даты.

При начислении сложных процентов при приведении к базовой дате n₀ уравнение эквивалентности имеет вид:

^(6.10)

Чаще всего за базовую дату в этом случае принимают начало процесса, т.е. точку n₀ = 0. В этом случае уравнение (6.10) принимает вид:

^(6.11)

Пример 6.8. Три платежа 2 тыс. руб., 4 тыс. руб. и 3 тыс. руб. со сроками 2, 3 и 4 года соответственно заменяются двумя, причем через 1 год выплачивается 2 тыс. руб., а остаток – через 5 лет. Пересчет по сложной ставке 25% годовых. Определить остаток долга.

Решение.

,

S₀ = 9023,44 руб.

Рассмотрим пример на определение срока заменяющих платежей.

Пример 6.9. Воспользуемся данными примера 6.8. Платежи заменяются двумя с выплатами 2 тыс. руб. через 1 год и 8,5 тыс. руб. Определить срок выплаты суммы 8,5 тыс. руб.

Решение.

, отсюда находим:

1,25ⁿ = 2,874729,

n = года или 4 года и 267 дней.