Глава 6. Финансовая эквивалентность обязательств

6.1. Уравнение эквивалентности

В практической деятельности довольно часто возникают ситуации, когда один поток платежей заменяется другим потомком или одним платежом. При этом соблюдается неизменность финансовых отношений сторон до и после заключения контракта или, как говорят, финансовая эквивалентность обязательств. Расчет платежей в этом случае базируется на уравнении эквивалентности.

Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи приведёнными к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования к более ранней дате или, наоборот, наращения суммы платежа (если дата относится к будущему).

Суть принципа – две суммы денег S₁ и S₂, выплачиваемые в разные моменты времени считаются эквивалентными, если их современные или наращенные стоимости, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один и тот же момент, одинаковы. При этом используются простые проценты, если сроки платежей меньше года, и сложные проценты – если сроки больше года.

Пример 6.1. Имеются два обязательства с простой ставкой процента 20%. Условия первого: выплатить 400 тыс. руб. через 4 месяца; условия второго – 450 тыс. руб. через 8 месяцев. Можно ли считать их эквивалентными?

Решение.

1) тыс. руб.; 2) тыс. руб.

При заданной процентной ставке данные платежи не являются эквивалентными и не могут заменять друг друга.

Барьерная (критическая) ставка. Сравнение платежей предполагает использование некоторой процентной ставки и, следовательно, результат зависит от выбора её размера. Пусть сравниваются два платежа S₁ и S₂ со сроками n₁ и n₂, измеряемые от одного момента времени, причем S₁ < S₂ и n₁ < n₂. Соотношение их современных стоимостей зависит от размера процентной с тавки (рис. 6.1).

Рис. 6.1.

С ростом i размеры современных стоимостей уменьшаются, причем при i = i₀ наблюдается равенство P₁ = P₂;

при i < i₀ P₁ < P_2;

при i > i₀ P₁ > P₂.

Таким образом, результат сравнения зависит от размера ставки, равного i₀, которая называется критической или барьерной ставкой.

Если дисконтирование производится по простой ставке, то барьерную ставку найдем из равенства:

;

находим . (6.1)

Если дисконтирование производится по сложной ставке, то барьерную ставку найдем из равенства:

. (6.2)

Пример 6.2. Первый платеж, равный 9 тыс. руб., должен быть выплачен через 2 года, а второй, равный 12 тыс. руб., выплачивается через 5 лет. Определить барьерную ставку.

Решение. Критический уровень сложной процентной ставки, при которой платежи эквивалентны, определяется по формуле (6.2):

или 10,06%.

6.2. Объединение потока платежей в один

Объединение потока платежей в один называется также консолидацией платежей. При этом определяют либо сумму консолидированного платежа при известном сроке, либо срок при известной сумме.

Дано:

S ₁, S₂, …, S_m – платежи

Заменить одним в сумме S₀ и сроком n₀.

n₁, n₂,…, n_m – сроки

Возможны две постановки задачи:

1. Известен срок n_0. Найти сумму консолидированного платежа S₀.

2. Известна сумма S₀, найти срок консолидированного платежа n₀.

Определение суммы консолидированного платежа S₀.

а) при применении простых процентных ставок:

^{, (6.3)}

где S_j – размеры объединяемых платежей со сроком n_j < n₀,

S_k – размеры объединяемых платежей со сроком n_k > n₀,

t_j = n₀ - n_j, t_k = n_k – n₀.

Если срок консолидированного платежа наступит позже последнего срока заменяемых платежей (n₀ > n_m), то формула (6.3) приобретает вид:

^(6.4)

Пример 6.3. Три платежа 5 тыс. руб. со сроком 130дней, 3 тыс. руб. со сроком 165 дней и 8 тыс. руб. со сроком 320 дней заменяются одним со сроком 250 дней. Стороны договорились об использовании простой процентной ставки 20% годовых. Определить сумму консолидированного платежа при базе K = 365.

Решение.

При определении суммы консолидированного платежа используется формула (6.3):

руб.

б) при применении сложных процентных ставок:

. (6.5)

Если срок консолидированного платежа наступит позже последнего срока заменяемых платежей (n₀ > n_m), то формула (6.5) приобретает вид:

.

Пример 6.4. Платежи в 1 и 2 млн. руб. и сроками уплаты через 2 и 3 года объединяются в один со сроком 2,5 года. При консолидации используется сложная ставка 20%. Определить сумму консолидированного платежа.

Решение.

2921,9 тыс. руб.

Определение срока консолидированного платежа n₀.

а) при применении простых процентных ставок n₀ определяется из соотношения:

.

^{Пусть , тогда:}

. (6.6)

Пример 6.5. Суммы в размере 10, 20 и 15 млн. руб. должны быть выплачены через 50, 80, 150 дней соответственно. Стороны согласились заменить их одним платежом в размере 50 млн. руб. Определить срок консолидированного платежа, если процентная ставка 10% годовых, K=365.

Решение.

б) при применении сложных процентных ставок n₀ определяется из соотношения:

.

^{Пусть , тогда:}

^{. (6.7)}

Пример 6.6. Платежи 1 и 2 млн. со сроками 2 и 3 года объединяются в один платеж суммой 3 млн. руб. Определить срок консолидированного платежа, если процентная ставка 20% годовых.

Решение.