- •Содержание
- •Введение
- •Глава 1. Основные понятия финансовых вычислений
- •1.1. Время как фактор в финансовых расчетах
- •1.2. Проценты, виды процентных ставок
- •Глава 2. Простая процентная ставка
- •2.1. Формула наращения
- •2.1.1. Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд
- •2.1.2. Начисление процентов в смежных календарных периодах
- •2.1.3. Переменные ставки
- •2.2. Погашение задолженности частями
- •2.3. Дисконтирование и учет по простым процентам
- •2.4. Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам
- •2.4.1. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
- •Глава 3. Сложные проценты
- •3.1. Формула наращения по сложным процентам
- •3.1.1. Переменные ставки
- •3.1.2. Начисление процентов при дробном числе лет
- •3.2. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки
- •3.3. Дисконтирование по сложной ставке
- •3.4. Сложная учетная ставка
- •3.4.1. Срок ссуды и размер процентной ставки
- •Глава 4. Эквивалентность процентных ставок
- •Глава 5. Наращение процентов и инфляция
- •Глава 6. Финансовая эквивалентность обязательств
- •6.1. Уравнение эквивалентности
- •6.2. Объединение потока платежей в один
- •6.3. Замена одного потока платежей другим
- •Список литературы
- •Приложение Основные формулы для решения задач
- •450000, Рб, г. Уфа, ул. К.Маркса, 12
3.1.1. Переменные ставки
Формула (3.1) предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. В случае, когда изменения размеров ставок фиксируется в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е.
S = ... , (3.2)
где r1, r2, …, rk – последовательные значения ставок;
n1, n2, …, nk – периоды, в течение которых действуют соответствующие ставки.
Пример 3.2. Срок ссуды – 5 лет, договорная процентная ставка – 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75% в оставшиеся. Найти множитель наращения.
Решение.
мн = (1+0,125)2(1+12,75)3 = 1,814.
3.1.2. Начисление процентов при дробном числе лет
Часто срок в годах для начисления процентов не является целым числом. В некоторых коммерческих банках дробная часть долга отбрасывается и считается только целая часть. В большинстве случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода: 1) расчет по формуле (3.1); 2) смешанный метод, который предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:
S = P (1 + ai) (1+ r)b, (3.3)
где a – дробная часть срока задолженности, b – целая часть срока задолженности, n = a + b – срок ссуды, i = r – при целой части сложный процент, при дробной – простой.
Пример 3.3. Кредит в размере 3 млн. выдан на 3 года и 160 дней под 16,5% годовых. Определить сумму долга на конец срока двумя способами, если K = 365*.
Решение.
1) S = = 5,086 593 млн. руб.
2) S = = 5,071 932 млн. руб.
* Если временная база не оговорена, то брать 360/360.
3.2. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки
Номинальная ставка. Часто в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов используется не год, а например, месяц, квартал или другой период. В этом случае говорят, что проценты начисляются m раз в году. В контрактах обычно фиксируется не ставка за период, а годовая ставка, которая в этом случае называется номинальной. Сложная процентная ставка наращения является частным случаем номинальной при начислении процентов один раз в году. Если номинальную ставку обозначить через j, то проценты за один период начисляются по ставке j/m, а количество начислений равно mn. Наращенная сумма при использовании номинальной процентной ставки наращения определяется по формуле:
S = P (3.4)
Пример 3.4. Какой величины достигнет долг, равный 25000 руб. через 5,7 года при росте по сложной ставке под 16,5% годовых при начислении процентов раз в году и помесячно?
Решение.
1) S = 5,7 = 59703,22 руб.
2) S = 250001 + )125,7 = 63622,59 руб.
Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.
Пример 3.5. Какова сумма долга через 25 мес. если первоначальная сумма 500 тыс. руб., проценты сложные, ставка 20%, начисление поквартальное. Определить 2-мя способами – общим и смешанным.
Решение. 25 мес. = 2 года и 1 мес.(30 дней).
1) S = = 750,840 тыс. руб.
2) S = = 741,806 тыс. руб.
Эффективная ставка (действительная). Эта ставка измеряет тот реальный доход вкладчика, который получают в целом за год от начисления процентов. Т.е. это годовая ставка сложных процентов, дающая тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m. Поэтому множители наращения эффективной и номинальной ставок должны быть равны друг другу:
(1+rэ)n = (1+ )mn.
Решив это уравнение относительно rэ и j, получим:
rэ = (1+ )m – 1; j = m . (3.5)
Из формулы (3.5) следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений.
Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку rэ не изменит финансовых обязательств участников сторон, т.е. обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.
Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора.
Пример 3.6. Каков размер эффективной ставки, если номинальная ставка 25%, начисление процентов помесячно?
Решение.
rэ = (1+ )12 – 1 = 0,28 (28%).
Т.е. данные обязательства будут эквивалентны (28% годовых или 25% помесячно).