§2. Экстремум функции

Точка EMBED Equation.3 называется точкой максимума (минимума) функции EMBED Equation.3 , если существует такая окрестность точки EMBED Equation.3 , что для всех EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 этой окрестности выполняется неравенство EMBED Equation.3 < EMBED Equation.3 (максимум) или EMBED Equation.3 > EMBED Equation.3 (минимум).

Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) – максимумом (минимумом), или экстремумом функции.

Правило отыскания экстремумов функции:

1. Вычислить производную EMBED Equation.3 .

2. Составить уравнение EMBED Equation.3 =0 и найти его корни, которые являются критическими точками функции.

3. Установить знак производной EMBED Equation.3 слева и справа от критической точки.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус (вторая производная при этом меньше нуля), то в критической точке она имеет максимум.

Если производная в критической точке меняет знак с минуса на плюс (вторая производная при этом больше нуля), то функция в этом точке имеет минимум.

Рассмотрим примеры.

1. Исследовать на экстремум функцию EMBED Equation.3 .

Решение.

Находим первую производную заданной функции: EMBED Equation.3 . Приравниваем ее нулю и определяем критические точки: EMBED Equation.3 , значение EMBED Equation.3 является критической точкой. Определяем знак EMBED Equation.3 при переходе через критическую точку. Если EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 <0. Если EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 >0. Полученный результат позволяет утверждать, что в точке EMBED Equation.3 функция имеет минимум, значение которого EMBED Equation.3 .

2. Исследовать на экстремум функцию EMBED Equation.3 .

Решение.

Так как EMBED Equation.3 - периодическая функция с периодом EMBED Equation.3 , то достаточно найти экстремумы на отрезке EMBED Equation.3 .

Дифференцируя, получим EMBED Equation.3 . Производная существует на всем отрезке EMBED Equation.3 и обращается в нуль в точках EMBED Equation.3 . Для исследования функции на экстремум выясним знак второй производной EMBED Equation.3 в каждой из полученных точек. Имеем:

EMBED Equation.3 >0;

EMBED Equation.3 <0;

EMBED Equation.3 >0;

EMBED Equation.3 <0.

Отсюда следует, что

при EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;	при EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;
при EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;	при EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .

3. EMBED PBrush Рис. 1

   В шар радиусом R вписан цилиндр наибольшего объема. Обозначим высоту, радиус основания и объем цилиндра соответственно через EMBED Equation.3 . Объем цилиндра рассчитывается по формуле EMBED Equation.3 . Из геометрических построений видно (рис. 1), что EMBED Equation.3 , тогда формула для расчета объема будет иметь вид EMBED Equation.3 .

Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции EMBED Equation.3 в промежутке EMBED Equation.3 .

Найдем производную: EMBED Equation.3 . Приравнивая нулю EMBED Equation.3 , получим единственную критическую точку EMBED Equation.3 , принадлежащую рассматриваемому промежутку EMBED Equation.3 , в которой объем и принимает наибольшее значение EMBED Equation.3 .

В итоге мы получили, что наибольший объем будет иметь цилиндр, высота которого EMBED Equation.3 .

4. На какой высоте EMBED Equation.3 над центром круглого стола радиусом R следует поместить электрическую лампочку, сила света которой J, чтобы освещенность E края стола была максимальной?

Решение.

EMBED PBrush

Освещенность вычисляется по формуле EMBED Equation.3 , где значения EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 определяются, исходя из рис.2.

За независимую переменную примем угол EMBED Equation.3 и,

Рис. 2

учтя, что EMBED Equation.3 , получим

EMBED Equation.3 .

Найдем максимальное значение полученной функции в промежутке EMBED Equation.3 изменения независимой переменной EMBED Equation.3 . Дифференцируя EMBED Equation.3 , получим EMBED Equation.3 . Решая уравнение EMBED Equation.3 , находим, что функция EMBED Equation.3 в интервале EMBED Equation.3 имеет единственную критическую точку: EMBED Equation.3 . Следовательно, при EMBED Equation.3 освещенность EMBED Equation.3 будет наибольшей, поэтому EMBED Equation.3 . Это и есть искомая величина.

Исследовать на экстремум следующие функции.

3.8. EMBED Equation.3 . (Ответ: при EMBED Equation.3 функция имеет минимум).

3.9. EMBED Equation.3 . (Ответ: при EMBED Equation.3 функция имеет максимум).

3.10. EMBED Equation.3 . (Ответ: при EMBED Equation.3 функция имеет минимум).

3.11. EMBED Equation.3 .

(Ответ: при EMBED Equation.3 функция имеет максимум, при EMBED Equation.3  минимум).

3.12. EMBED Equation.3 .

(Ответ: при EMBED Equation.3 функция имеет минимум, при EMBED Equation.3  максимум).

3.13. EMBED Equation.3 . (Ответ: при EMBED Equation.3 функция имеет минимум).

3.14. EMBED Equation.3 >0.

(Ответ: при EMBED Equation.3 функция имеет минимум, при EMBED Equation.3  максимум).

0. Исследовать функцию EMBED Equation.3 на экстремум и найти значения функции в экстремальных точках. (Ответ: при EMBED Equation.3 функция имеет минимум; EMBED Equation.3 ).

1. Секундный расход воды EMBED Equation.3 при истечении ее через отверстие в толстой стене определяется по формуле EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 - диаметр отверстия, EMBED Equation.3 - глубина его низшей точки, EMBED Equation.3 - некоторая постоянная. При каком значении EMBED Equation.3 секундный расход воды EMBED Equation.3 является наибольшим? (Ответ: при EMBED Equation.3 ).

2. Показать, что мощность EMBED Equation.3 тока, получаемого от гальванического элемента во внешней цепи, будет наибольшей, если сопротивление R внешней цепи равно внутреннему сопротивлению EMBED Equation.3 самого элемента.

3. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью EMBED Equation.3 м/с. Уравнение движения тела EMBED Equation.3 . Будет ли тело подниматься или опускаться в момент EMBED Equation.3 с? В какой момент оно достигнет максимальной высоты и какова эта высота? (Ответ: тело поднимается; максимальной высоты достигнет в момент времени EMBED Equation.3 с; EMBED Equation.3 м).

4. Рост численности популяции в условиях ограниченности ресурсов происходит по закону EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 - постоянная величина, зависящая от вида клеток, характера среды и других внешних факторов; EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 - начальная и максимально возможная численность популяции. Определить момент времени, когда скорость роста популяции максимальна, и численность популяции в этот момент. (Ответ: EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ).

5. В последовательной реакции EMBED Equation.3 концентрация промежуточного вещества EMBED Equation.3 зависит от времени по закону EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 - постоянные величины ( EMBED Equation.3 > EMBED Equation.3 . Определить скорость изменения концентрации. Через какое время после начала реакции концентрация достигнет максимума? (Ответ: EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ).

6. В шар радиусом R вписан цилиндр, имеющий наибольшую боковую поверхность. Определить высоту цилиндра. (Ответ: высота равна EMBED Equation.3 ).