§2. Приложение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур.

Площадь S криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой EMBED Equation.3 , двумя прямыми x=a и x=b и отрезком оси абсцисс EMBED Equation.3 , вычисляется по одной из следующих формул:

EMBED Equation.3 , если EMBED Equation.3 на отрезке EMBED Equation.3 ;

EMBED Equation.3 , если EMBED Equation.3 на отрезке EMBED Equation.3 .

Площадь S фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 и двумя прямыми x=a и x=b, где EMBED Equation.3 на отрезке EMBED Equation.3 , вычисляется по формуле

EMBED Equation.3 .

Рассмотрим примеры.

1). Вычислить площадь, ограниченную параболой EMBED Equation.3 , прямыми x=2, x=4 и осью абсцисс.

Площадь вычислим, ипользуя формулу EMBED Equation.3 . Тогда

EMBED Equation.3

2). Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми EMBED Equation.3 и осью ординат (рис.3).

EMBED PBrush

Рис. 3

При вычислении искомой площади учтем, что изменены роли осей координат, т.е.:

EMBED Equation.3

3). Вычислить площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы EMBED Equation.3 , прямыми x=-3, x=-1 и осью абсцисс.

На отрезке EMBED Equation.3 функция EMBED Equation.3 отрицательна. Поэтому для вычисления площади рассматриваемой фигуры воспользуемся формулой

EMBED Equation.3 .

Получим

EMBED Equation.3

4). Вычислить площадь между линиями EMBED Equation.3 .

Рис.4

Искомая площадь изображена на рис. 4 и представляет собой разность между площадью прямоугольного треугольника OMx₀ и площадью криволинейного треугольника, ограниченного сверху участком параболы:

_{EMBED Equation.3} .

Абсциссу x₀ точки пересечения графиков находим, решая совместно уравнения EMBED Equation.3 , откуда EMBED Equation.3 .

Подставляя полученное значение верхнего предела интегрирования, получаем

_{EMBED Equation.3}

21. Вычислить площадь, ограниченную гиперболой EMBED Equation.3 , осью абсцисс и ординатами .

22. Вычислить площадь фигуры, заключенной между линиями EMBED Equation.3 . Изобразить фигуру графически.

23. Найти площадь фигуры, заключенной между осью абсцисс и кривой EMBED Equation.3 .

24. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой EMBED Equation.3 , прямыми EMBED Equation.3 и осью абсцисс.

25. Вычислить площадь фигуры, образованной линиями EMBED Equation.3 .

26. Определить площадь фигуры, ограниченной параболой EMBED Equation.3 и прямой EMBED Equation.3 .

27. Найти площадь фигуры, заключенной между прямыми EMBED Equation.3 и осью абсцисс.

28. Вычислить площадь между линиями EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .

29. Определить площадь, ограниченную экспонентой EMBED Equation.3 , осью абсцисс и ординатами EMBED Equation.3 .

30. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой EMBED Equation.3 , осью абсцисс и прямыми EMBED Equation.3 .