Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Исправленный вариант математика.doc
Скачиваний:
19
Добавлен:
09.11.2019
Размер:
13.23 Mб
Скачать
      1. Статистическая обработка данных измерения роста.

В работе статистически обрабатываются данные измерения роста определенной группы населения. Необходимо построить гистограмму, вычислить среднее арифметическое EMBED Equation.3 дисперсию D, среднее квадратичное отклонение EMBED Equation.3 , среднюю ошибку среднего арифметического n, оценить достоверность различий средних арифметических двух выборок, рассчитав критерий достоверности (Стьюдента) t.

1. Взять результаты измерений роста5 100 человек, сведенные в вариационный ряд (см. приложение) и перенести их в таблицу 1.(100 измерений взято для удобства расчетов). Вычислить и занести в таблицу произведения EMBED Equation.3 для каждого значения варианты и их сумму.

Таблица 1

№ варианты

Значение варианты xi

Частота варианты li

xili

1.

2.

.

.

k

Сумма

­­_

100

2. Рассчитать среднее арифметическое роста EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , где n-сумма частот вариант (общее число измерений), k- общее число вариант. Результат округлить до целых единиц.

3. Составить интервальный вариационный ряд. Для этого найти приблизительную ширину интервала по формуле:

EMBED Equation.3

где EMBED Equation.3 разность между максимальной и минимальной вариантами; разбить вариационный ряд на интервалы с границами EMBED Equation.3 Результаты занести в таблицу 2. Для того, чтобы значение варианты – границы не попало в оба соседних интервала, в данный интервал включить значение левой границы EMBED Equation.3 а значение правой EMBED Equation.3 включить в следующий интервал.

Например, если вариационный ряд начинается так:

Xi ,см

171

172

173

174

175

И т.д.

1

1

3

2

6

то при ширине интервала 2см границы интервалов будут следующие:

EMBED Equation.3 и т.д.

Таблица 2.

интерв

Границы интервала EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

Середина интерв. EMBED Equation.3

Суммарная частота вариант в интервале EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Сумма

_

_

100

_

_

4. Рассчитать и занести в таблицу 2 следующие величины:

а) значения середины каждого интервала EMBED Equation.3

В нашем примере они имеют следующие значения:

EMBED Equation.3

б) суммарную частоту вариант в интервале EMBED Equation.3 (при этом помните, что правая граница EMBED Equation.3 входит в следующий интервал).

В нашем примере эти величины имеют следующие значения EMBED Equation.3

в) значения EMBED Equation.3

г) сумму произведений EMBED Equation.3

5. Рассчитать дисперсию по формуле EMBED Equation.3 ,где I-нумерация интервалов, к*- общее число интервалов.

6. Рассчитать среднее квадратичное отклонение EMBED Equation.3 .

7. Рассчитать среднюю ошибку среднего арифметического EMBED Equation.3

(округлить до одной значащей цифры).

8. Результат записать в следующем виде:

EMBED Equation.3 .

9. Построить гистограмму, являющуюся графическим изображением интервального вариационного ряда (см. табл. 2).

С этой целью по оси абсцисс отложить отрезки, соответствующие интервалам. По оси ординат отложить отрезки, равные суммарным частотам вариант в интервалах EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Построить столбчатую диаграмму. Соединить плавной линией середины верхних сторон прямоугольников гистограммы. Полученную кривую сравнить с прямой нормального распределения и сделать вывод о характере эмпирического распределения.

10. Оценить достоверность различий средних арифметических двух выборок. Для этого вычислить критерий достоверности по формуле

EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 - средние арифметические двух разных выборок, m1,m2 –соответствующие им средние ошибки.

11. Определить интервал роста. Значение варианты xi ,попадающие в интервал EMBED Equation.3 , принято называть «средними» («рост данного человека средний»), попадающие

в интервал EMBED Equation.3 - «выше среднего»,

в интервал EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 - «ниже среднего»,

в интервал EMBED Equation.3 - «большими»,

в интервал EMBED Equation.3 - «малыми».

Руководствуясь этим, оцените величину своего роста по результатам статистической обработки роста соответствующей группы населения.

      1. Провести статистический анализ для следующих совокупностей данных:

2.1. Измерено значение пульса у 25 студентов: 69, 71, 83, 66, 79, 74, 74, 79, 66, 71, 71, 74, 74, 83, 74, 79, 71, 74, 83, 74, 79, 74, 87, 79, 69. Рассчитать среднее значение пульса, дисперсию, средне квадратичное отклонение, среднюю ошибку среднего арифметического. Правильно записать результат. Построить гистограмму. Сделать вывод о характере распределения. Доверительную вероятность принять равной 0,95.

2.2. Измерен диаметр эритроцитов у кролика (размер дан в микрометрах):6,0; 5,6; 5,6; 6,8; 7,4; 6,0; 7,9; 7,4; 6,3; 6,3; 6,8; 7,2; 6,0; 6,3; 6,3; 7,4; 7,2; 6,8; 6,3; 7,2; 6,8; 6,3; 6,8; 7,2; 6,3. Рассчитать среднее значение диаметра эритроцита, дисперсию, средне квадратичное отклонение, среднюю ошибку среднего арифметического. Правильно записать результат. Построить гистограмму. Сделать вывод о характере распределения. Доверительную вероятность принять равной 0,95.

2.3. Проведены измерения систолического давления у мужчины в начальной стадии травматического шока (давление измерено в мм.рт.ст.): 140, 134, 158, 152, 140, 146, 152, 158, 122, 134, 140, 152, 148, 146, 158, 146, 134, 122, 140, 152, 148, 140, 146, 152, 146.

Рассчитать среднее значение систолического давления, дисперсию, средне квадратичное отклонение, среднюю ошибку среднего арифметического. Правильно записать результат. Построить гистограмму. Сделать вывод о характере распределения. Доверительную вероятность принять равной 0,95 .

2.4. Проведены измерения диастолического давления у женщин (диагноз: дистония) (давление измерено в мм.рт.ст.): 62, 50, 62, 68, 59, 62, 73, 54, 62, 65, 62, 59, 54, 62, 68, 62, 59, 65, 68, 59, 62, 59, 62, 68, 54. Рассчитать среднее значение диастолического давления, дисперсию, средне квадратичное отклонение, среднюю ошибку среднего арифметического. Правильно записать результат. Построить гистограмму. Сделать вывод о характере распределения. Доверительную вероятность принять равной 0,95.

2.5. Изучался рост (см) мужчин возраста 25 лет для сельской местности. По случайной выборке объема: 175, 167, 168, 169, 168, 170, 174, 173, 177, 172, 174, 167, 173, 172, 171, 171, 170, 167, 174, 177, 171, 172, 173, 169, 171, 173, 173, 168, 173, 172, 166, 164, 168, 172, 174.

Рассчитать среднее значение роста, дисперсию, средне квадратичное отклонение, среднюю ошибку среднего арифметического. Правильно записать результат. Построить гистограмму. Сделать вывод о характере распределения. Доверительную вероятность принять равной 0,95 .

ПРИЛОЖЕНИЕ.

П.1. Правила приближенных вычислений.

П.1.1. Запись приближенных чисел.

Результат измерений представляет собой приближенное число, точность которого определяется ошибкой.

Условимся записывать приближенные числа так, чтобы ошибка последней цифры не превышала десяти единиц соответствующего разряда. При такой записи все цифры числа, кроме последней, будут верными. Последняя цифра называется сомнительной, все цифры правее сомнительной – неверными.

При записи окончательного результата все неверные цифры отбрасываются с соблюдением правил округления. Если приближенное число входит в расчетную формулу, в нем сохраняют одну неверную цифру, запасную.

Например, если результат измерения равен 1,2763, а ошибка – 0,02, то окончательный результат – 1,28±0,02 (отброшены две неверные цифры, оставлены две верные и одна сомнительная), если же результат измерения входит в вычисления, то используется число 1,276, где цифра 6 – запасная.

В таблицах математических и физических величин приводятся числа только с верными цифрами и одной сомнительной, за максимальную (т.е. предельную) ошибку округления принимается половина единицы сомнительной цифры.

Пример 1. Из таблиц можно найти значение EMBED Equation.3 . Ошибка округления принимается равной 0,00005.

Пример 2. Из таблицы плотность ртути при 20 0С равна 19,5458·103 кг/м3. Ошибка округления равна 0,00005·103 кг/м3.

П.1.2. Правила округления

Хотя правила округления считаются известными, следует напомнить, что:

    1. Если первая отбрасываемая цифра больше пяти, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу, если отбрасываемая цифра меньше пяти, то последняя цифра оставляется без изменений.

    2. Когда отбрасывается только цифра 5, а последующих цифр младших разрядов нет или они неизвестны, то сохраняемая четная цифра увеличивается на единицу.

    3. Если округляемое число – ошибка, то при отбрасывании цифры 5 увеличиваются на единицу и четная и нечетная цифры.

    4. При округлении целых чисел все цифры, отброшенные при округлении, заменяются множителем EMBED Equation.3 , где n – количество отброшенных цифр. При округлении десятичных дробей цифры, стоящие после запятой, просто отбрасываются, нулями их заменить нельзя, так как нуль в конце десятичной дроби характеризует точность. Например, 1,25 и 1.250 отличаются тем, что во второй дроби верных цифр три, а в первой – две. Пример округления целого числа: EMBED Equation.3 Пример округления дроби: EMBED Equation.3 .

П.1.3. Вычисления с приближенными числами.

Точность результата математических операций с приближенными числами определяется количеством значащих цифр в этих числах.

Значащими цифрами числа называется число надежно установленных цифр в записи результата измерения. Так в записи 23,21 см мы имеем четыре значащих цифры, а в записи 0,062 см – две.

В процессе измерений или в ходе вычислений не следует сохранять в окончательном ответе больше знаков, чем имеется значащих цифр в наименее точно измеренной величине.

Результат любого арифметического действия с приближенными числами есть также приближенное число, в котором могут быть и неверные цифры, подлежащие отбрасыванию. Так как сложение и умножение верной цифры и неверной дает неверную, а верной и сомнительной – сомнительную, то результат вычисления, очевидно, не может быть точнее самого неточного числа в исходных данных. Отсюда ясно, что не только окончательные результаты, но и числа в промежуточных выкладках, а также исходные приближенные числа необходимо округлять. Округление надо производить следующим образом.

- при сложении и вычитании все слагаемые округляют до сомнительной цифры, стоящей в самом высшем разряде, а затем производят сложение.

Пример:

EMBED Equation.3

Рот вычитании близки по величине чисел возможно потеря относительной точности. Например, в случае разности

EMBED Equation.3

исходные данные имеют по 5 значащих цифр, а результат – две, причем только одну верную цифру. Увеличение точности в таких случаях возможно только путем изменения метода измерений (или вычислений) и, следовательно, использования расчетной формулы, не содержащей разности близких величин;

- при умножении и делении в полученном результате будет столько значащих цифр, сколько в исходном данном с наименьшим количеством значащих цифр. Аналогично предыдущему следует предварительно округлять все числа, оставляя, если это может повлиять на результат, одну запасную цифру.

Пример: EMBED Equation.3 ;

- при возведении в степень и извлечении корня приближенного числа должно быть оставлено значащих цифр столько, сколько их в основании.

Пример: EMBED Equation.3 .

В числе, полученном после извлечения корня любой степени, следует оставлять столько значащих цифр, сколько их было в числе под корнем.

Пример: EMBED Equation.3 ;

- при логарифмировании в мантиссе приближенного числа берется столько значащих цифр, сколько их в логарифмируемом числе.

Пример:

EMBED Equation.3 .

Вычисление погрешности измерений производят с такой же точность, что и вычисление самой измеряемой величины, а это означает, что при записи погрешности в ней будет столько же десятичных знаков, сколько их в записи самого результат. На погрешность правило значащих цифр не распространяется.

Например:

Правильно. Неправильно.

Z= 284 EMBED Equation.3 Z= 284,5 EMBED Equation.3

Z= 52,7 EMBED Equation.3 Z=52.74 EMBED Equation.3

Z= 4,750 EMBED Equation.3 Z=4,75 EMBED Equation.3

ОТВЕТЫ