§4. Генеральная совокупность.
Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
Генеральной совокупностью случайной величины называют совокупность всех значений данной величины, которая подлежит изучению. Однако в реальных условиях эксперимента невозможно изучить всю совокупность значений случайной величины – генеральную совокупность, поэтому исследования ведутся выборочно.
Часть значений случайной величины, которая отобрана для изучения, называется выборочной совокупностью или выборкой.
Отдельные
значения случайной величины называются
вариантами
EMBED Equation.3
Число,
указывающее сколько раз встречается
данная варианта, называется частотой
EMBED Equation.3
Результаты серии измерений записывают в виде вариационного ряда, в котором варианты расположены в порядке возрастания или убывания с указанием частоты. Если случайная величина является непрерывной, то строят интервальный ряд: ряд разбивается на равные интервалы с указанием суммарной частоты вариант, входящих в интервал.
Затем решается вопрос, к какому виду распределения относится изучаемая выборка. Одним из методов определения закона распределения случайной величины по выборке является метод анализа гистограммы. Гистограмма – это столбчатая диаграмма (histos – столб) (рис.2). Для ее построения по оси абсцисс откладываются значения интервалов. На отрезках, соответствующих интервалам, строят прямоугольники высота которых пропорциональна суммарной частоте вариант в интервале. Соединив середины верхних сторон прямоугольников плавной линией, получают кривую эмпирического происхождения, которую сравнивают теоретическими кривыми.
Рис. 2
Все дальнейшие расчеты и рассуждения относятся к нормальному закону распределения.
При изучении выборки определяют ее параметры (числовые характеристики):
среднее арифметическое
выборки (выборочную среднюю)
EMBED
Equation.3
,
EMBED Equation.3
дисперсию
выборки и среднее квадратичное отклонение
выборки
EMBED
Equation.3
,
где n-общее число наблюдений (объем выборки), k – число вариант.
Для
большей выборки при n
EMBED
Equation.3
30
вычисление дисперсии производится по
формуле:
EMBED
Equation.3
.
Так
как выборка всегда ограничена
количественно, экспериментальные
числовые характеристики (параметры)
лишь приблизительно отражают изучаемое
распределение, поэтому выборочная
средняя EMBED Equation.3
,
EMBED Equation.3
дисперсия
EMBED Equation.3
и среднее квадратичное отклонение
EMBED Equation.3
являются только оценкой среднего
значения (математического ожидания)
EMBED Equation.3
дисперсии EMBED Equation.3
и среднего квадратичного отклонения
EMBED Equation.3
изучаемого распределения, т.е. генеральной
совокупности.
Среднее
квадратичное отклонение выборки EMBED
Equation.3
является мерой отклонения любой варианты
выборки EMBED Equation.3
от EMBED Equation.3
случайной величины.
Мерой
отклонения среднего арифметического
выборки EMBED Equation.3
от EMBED Equation.3
является средняя ошибка среднего
арифметического EMBED Equation.3
.
Средняя ошибка, в свою очередь, представляет
собой среднее квадратичное отклонение
среднего арифметического EMBED Equation.3
от EMBED Equation.3
случайной величины.
Предположим,
что из единой генеральной совокупности
берется I
разных
выборок. Для определенности будем
считать их объемы одинаковыми и равными
n.
Их выборочные средние ( EMBED Equation.3
)
EMBED Equation.3
являются
случайными величинами, для которых
можно найти закон распределения и
соответствующие параметры. Оказывается,
что разные EMBED Equation.3
распределены по нормальному закону, а
их математическое ожидание равно
математическому ожиданию генеральной
совокупности. Это позволяет при достаточно
большой выборке ее среднее значение
приближенно принять за генеральную
среднюю, т.е. EMBED Equation.3
.
Однако для дисперсий положение несколько иное. Математическое ожидание дисперсий различных выборок, составленных из генеральной совокупности, отличается от генеральной дисперсии. Поэтому для оценки генеральной дисперсии вводят исправленную выборочную дисперсию
EMBED
Equation.3
.
Эта
величина не является ни выборочной, ни
генеральной дисперсией. Однако если
имеется много выборок одной генеральной
совокупности, среднее значение
(математическое ожидание) S
приближается к генеральной дисперсии.
При большой выборке EMBED Equation.3
,
что видно из предыдущей формулы.
Такого рода оценка параметров генеральной совокупности или каких-либо измерений называется точечной.