Глава 6 дифференциальные уравнения
§1.Основные понятия.
Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называется дифференциальным уравнением.
Порядком
дифференциального уранения
называется порядок старшей производной,
входящей в это уравнение. Например,
уравнение EMBED Equation.3
-
первого порядка.
Функция y=(x), удовлетворяющая дифференциальному уравнению, называется решением этого уравнения.
Решение дифференциального уравнения, содержащее столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения, называется общим решением этого уравнения.
Например, для уравнения первого порядка общее решение имеет вид y=(x,с).
Функции, получаемые из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных, называются частными решениями.
Для нахождения частного решения дифференциального уравнения задаются начальные условия.
Рассмотрим следующие примеры.
1). Проверить, является ли функция y=cosx решением уравнения
y+y=0.
Найдем y=-sinx, y=-cosx. Подставляя выражения для y и y в данное уравнение, получаем
y+y=-cosx+cosx=0,
т.е. функция y=cosx является решением данного дифференциального уравнения.
2). Общее решение дифференциального уравнения y-3y=0 иммет вид
y=Ce3x.
Найти его частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e3.
Значение произвольной постоянной С, соответствующее некому частному решению, получается в результате подстановки в выражение общего решения заданных начальных условий: e3=Ce3, откуда С=1. Подставляя полученное значение С=1 в общее решение, найдем частное решение y=e3x, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
6.1
Выяснить, являются ли решениями
дифференциального уравнения EMBED
Equation.3
следующие функции:
EMBED Equation.3
;EMBED Equation.3
;EMBED Equation.3
;EMBED Equation.3
.
6.2
Выяснить, являются ли решениями
дифференциального уравнения EMBED
Equation.3
следующие функции:
EMBED Equation.3
;EMBED Equation.3
;EMBED Equation.3
;EMBED Equation.3
.
6.3
Общее решение дифференциального
уравнения EMBED Equation.3
.
Найти частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям EMBED Equation.3
.
§2.Уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид
EMBED
Equation.3
Поделив
все члены уравнения на EMBED Equation.3
,
получим уравнение
EMBED
Equation.3
,
в котором переменные разделены.
Общее решение уравнения находим почленным интегрированием
EMBED
Equation.3
Например.
1). Найти общее решение уравнения
EMBED
Equation.3
.
Поделим
обе части уравнения на EMBED Equation.3
:
EMBED
Equation.3
.
Интегрируя обе части уравнения, получим
EMBED
Equation.3
,
откуда
EMBED
Equation.3
.
Так
как С-
произвольная постоянная, то ее можно
заменить на EMBED Equation.3
.
Тогда
EMBED
Equation.3
,
это и есть общее решение данного уравнения.
2).
Найти частное решение дифференциального
уравнения EMBED Equation.3
,
удовлетворяющее начальным условиям
EMBED Equation.3
.
Найдем общее решение данного уравнения. Для этого разделим переменные:
EMBED
Equation.3
или
EMBED
Equation.3
.
Интегрируя, получаем
EMBED
Equation.3
.
Используя
начальные условия, подставляем в
выражение общего решения заданные
значения переменных EMBED Equation.3
,
тем самым определяем значение производной
постоянной С:
EMBED
Equation.3
.
Из последнего равенства получаем С = -1.
Итак, искомое частное решение :
EMBED
Equation.3
.
Найти общее решение дифференциальных уравнений.
-
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Найти общее и частное решение дифференциальных уравнений: