§6. Применение производной при решении

прикладных задач

Производная EMBED Equation.3 от функции EMBED Equation.3 , вычисленная при значении аргумента EMBED Equation.3 , представляет собой скорость изменения этой функции относительно независимой переменной EMBED Equation.3 в точке EMBED Equation.3 .

В частности, если зависимость между пройденным путем EMBED Equation.3 и временем EMBED Equation.3 при прямолинейном движении выражается формулой EMBED Equation.3 , то скорость движения в любой момент времени есть EMBED Equation.3 , а ускорение, т.е. скорость изменения скорости движения, EMBED Equation.3 .

Например.

1. Точка движется прямолинейно по закону EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 выражается в метрах, а EMBED Equation.3 - в секундах. (Обратите внимание на то, что коэффициенты при соответствующих степенях EMBED Equation.3 имеют разную размерность. Не забывайте, что если слева стоят «метры», то и каждое слагаемое в правой части должно тоже иметь размерность «метры»). Найти скорость и ускорение движения через 1 с после начала движения.

Решение. Скорость прямолинейного движения

EMBED Equation.3 .

Подставим значение EMBED Equation.3 =1с и получим EMBED Equation.3 (м/с).

Ускорение прямолинейного движения равно второй производной пути по времени EMBED Equation.3 и, следовательно, EMBED Equation.3 (м/с²).

2. Тело вращается вокруг неподвижной оси так, что угол его поворота меняется с течением времени по закону EMBED Equation.3 , где A, B, C – постоянные коэффициенты. Зная, что момент инерции тела относительно оси вращения равен EMBED Equation.3 , найти момент сил М, действующий на тело в любой момент времени.

Решение. Основной закон динамики вращательного движения записывается как

EMBED Equation.3 .

Искомый момент сил М получим, подставив в это уравнение угловое ускорение EMBED Equation.3 . Угловая скорость EMBED Equation.3 , угловое ускорение EMBED Equation.3 . Отсюда EMBED Equation.3 .

3. Концентрация С некоторого вещества в крови человека вследствие его выведения из организма, изменяется с течением времени EMBED Equation.3 по закону EMBED Equation.3 Определить скорость изменения концентрации.

Решение. Скорость изменения концентрации определится как первая производная от концентрации по времени, т.е.

EMBED Equation.3 .

Решить задачи.

2.162. Прямолинейное движение точки совершается по закону EMBED Equation.3 (м). Определить скорость в момент времени EMBED Equation.3 с. (Ответ: v=27м/с).

2.163. В какой момент времени скорость точки, движущейся по закону EMBED Equation.3 , равна нулю? (Ответ: t=2 с).

2.164. Зависимость пути от времени дается уравнением EMBED Equation.3 (м). Найти скорость в конце второй секунды. (Ответ: v=1,75 м/с).

2.165. При прямолинейном движении точки зависимость пути от времени задана уравнением EMBED Equation.3 . Найти ускорение точки в конце четвертой секунды. (Ответ: a=0,03 м/с²).

2.166. Точка движется по оси абсцисс по закону

EMBED Equation.3 (м).

В какой момент времени точка остановится? (Ответ: точка остановится при t=3 c).

2.167. Точка движется по закону EMBED Equation.3 (м). Найти скорость и ускорение движения через 1 с после начала движения. (Ответ: v=4 м/с, a=6 м/с²).

2.168. Диск вращается так, что угол поворота его радиуса (в радианах) изменяется по закону EMBED Equation.3 , где B=2 рад/с², С=1рад/с³. Найти угловое ускорение диска в любой момент времени, а также момент силы, действующий на диск в любой момент времени, если момент инерции диска равен 0,02 кгм². (Ответ: =(2+3t) c^2; M=0,04(2+3t) нм).

2.169. Вращающееся колесо задерживается тормозом. Угол, на который колесо поворачивается в течение некоторого времени, определяется выражением EMBED Equation.3 . Найти угловую скорость и угловое ускорение движения через 2 с после включения тормоза. Определить, в какой момент времени колесо остановится. (Ответ: EMBED Equation.3 с^1, EMBED Equation.3 с^2, колесо остановится через t=0,2 c ).

2.170.Уравнение вращательного движения твердого тела имеет вид:  = A + Bt + Ct³, где A = 2 рад, B = 3 рад/с, C = 1 рад/с².

Найти угол , угловую скорость  и угловое ускорение  в моменты времени t₁=1 c, t₂ = 4 c.

(Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.171. Угловой путь вращающегося тела задан уравнением  = 2t³ + 3t² + 8 (рад). Получить уравнение для углового ускорения. (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.172. Чему равна угловая скорость тела в конце 1-й секунды вращения, если точка, расположенная на расстоянии 5 см от оси вращения, движется по закону S=t²+2t (м)? (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.173. Чему равна угловая скорость тела в конце 2-ой секунды вращения, если точка, расположенная на расстоянии R = 5 см от оси вращения, движется по закону S = 4 t² + 4t (м ) ? (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.174. Определить угловые скорость и ускорение тела, если угловой путь задан уравнением  = at² + b ( рад). (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.175. Определить угловое ускорение тела, если линейная скорость точки, движущейся по окружности R=10см, задана уравнением v = 2t + 4 (м/с). (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.176. Какую угловую скорость будет иметь тело к концу второй секунды, если вращение задано уравнением  = 2 t² + 4t (рад). (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.177. Определить угловое ускорение тела, если линейная скорость точки, движущейся по окружности R=0,2 см, задана уравнением v = 3t + 4 (м/с). (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.178. Материальная точка вращается по окружности радиусом R= 2м по закону S = 3t² (м). Определить ее угловое ускорение. (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.179. Уравнение вращения тела имеет вид = t³ + 4 . Найти угловое ускорение тела в момент времени t = 3 с. (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.180. Угловой путь вращающегося тела задан уравнением = t³ + 2t² + 4. Найти уравнение для углового ускорения. (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.181. Чему равна угловая скорость тела в конце 1-й секунды вращения, если точка, расположенная на расстоянии 10 см от оси вращения, движется по закону S = 2t² + 4t (м). (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.182. Какую угловую скорость будет иметь тело к концу второй секунды, если вращение задано уравнением = 2t² + 4t? (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.183. Определить угловое ускорение тела, если линейная скорость точки с радиусом-вектором 0,2 см задана уравнением V = 3t + 4 ( м/с). (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.184. Момент импульса тела с течением времени изменяется по закону L=4t+2(кгм/с). Определить момент сил, действующих на тело. (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.185. Тело колеблется по закону EMBED Equation.3 (м). Найти скорость тела в момент времени EMBED Equation.3 .(Ответ: v=0,57 м/с).

2.186. Точка участвует в движении, заданном уравнением EMBED Equation.3 (м). Найти скорость и ускорение в момент времени EMBED Equation.3 .(Ответ: v=26,4 м/с, a=252 м/с²).

2.187. Тело массой 1 г колеблется по закону EMBED Equation.3 (м). Найти силу, действующую на тело в любой момент времени, и ее максимальное значение. Вычислить это значение при EMBED Equation.3 =310⁴Гц.

(Ответ: EMBED Equation.3 Н, EMBED Equation.3 Н, EMBED Equation.3 Н).

2.188. Тело массой 25 кг движется по закону EMBED Equation.3 . Найти кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.

(Ответ EMBED Equation.3 ).

2.189. Центр тяжести кисти человека при ходьбе совершает колебания по закону EMBED Equation.3 (м). Определить максимальные скорость и ускорение центра тяжести кисти, а также период колебания. (Ответ: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ).

2.190.Тело движется по закону EMBED Equation.3 . Найти ускорение для любого момента времени. (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.191. Гармоническое колебание задано уравнением X=5 cos (2+/4) (см). Получить уравнение для расчета скорости. Чему равна амплитуда скорости? (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.192. Гармоническое колебание задано уравнением X=5 cos ( +/6) (см). Определить амплитуду скорости. Для каких значений X скорость максимальна? (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.193. Уравнение для смещения гармонического колебательно движения задано в виде X=5 cos ( 2t+/2) ( мм). Найти выражение для ускорения. Результат представить в системе "СИ".

(Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.194. Уравнение для смещения при гармоническом колебании задано в виде X=2cos(t+/4) ( м ). Найти закон изменения ускорения и построить график ускорения для этого движения. (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.195. Скорость гармонического колебательного движения задана уравнением V=-sin(2t+/4)(м/с). Найти закон изменения ускорения и построить его график. (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.196. Точка совершает гармонические колебания по закону синуса с амплитудой 10 см и периодом 0,2 с. Найти максимальное значение ускорения. Как изменится результат, если колебания будут происходить по закону косинуса? (Ответ: EMBED Equation.3 . Если колебания будут происходить по закону косинуса, результат не изменится).

2.197. Тело массой 1 г колеблется по закону X=2cos(2t+/3) (см). Определить потенциальную и кинетическую энергии тела в конце 1-ой секунды движения. (Ответ EMBED Equation.3 ).

2.198. Уравнение колебаний материальной точки массой m=16г имеет вид X=2sin(t/8+/4) (см), где X выражается в сантиметрах. Определить кинетическую, потенциальную и полную энергию точки через 2 секунды после начала колебаний.

( Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.199. Материальная точка массой 0,05 кг колеблется по закону X=0,1sin(t/5+/3)(м). Найти максимальную силу, действующую на точку. (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.200.В результате значительной потери крови содержание железа в ней уменьшилось на 210 мг. Недостаток железа EMBED Equation.3 вследствие его восстановления с течением времени EMBED Equation.3 уменьшается по закону EMBED Equation.3 (время выражено в сутках). Найти зависимость скорости восстановления железа в крови от времени. Вычислить эту скорость в момент EMBED Equation.3 =0 и через 7 суток. (Ответ: EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ).

2.201. Фабричная труба выбрасывает за единицу времени некоторое количество P газообразного вещества, которое в результате диффузии распространяется в окружающем воздухе. Концентрация этого вещества на расстоянии EMBED Equation.3 от отверстия трубы определяется формулой EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 - коэффициент диффузии. Найти убывание концентрации на каждую единицу расстояния (градиент концентрации).

(Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.202. Зависимость барометрического давления от высоты при условии постоянной температуры дается барометрической формулой EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 - давление на поверхности Земли (h=0), EMBED Equation.3 - масса киломоля воздуха, EMBED Equation.3 - универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура, EMBED Equation.3 - ускорение свободного падения.

Получить формулу для определения градиента давления (т.е. изменения атмосферного давления на каждую единицу изменения высоты) для любой высоты, считая Т и EMBED Equation.3 постоянными. (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.203. Концентрация раствора меняется с течением времени по закону EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 - постоянные для данного процесса величины. Найти скорость растворения. (Ответ: EMBED Equation.3 ).

2.204. Величина потенциала, возникающего при возбуждении сетчатки глаза под действием света, равна EMBED Equation.3 (В) , где EMBED Equation.3 - постоянная величина, EMBED Equation.3 - время, отсчитываемое от момента освещения. Определить потенциал и скорость изменения потенциала в момент времени EMBED Equation.3 =0. (Ответ: EMBED Equation.3 скорость изменения потенциала EMBED Equation.3 (В/с)).

2.205. Конденсатор емкостью С и зарядом EMBED Equation.3 разряжается через сопротивление R так, что в любой момент времени EMBED Equation.3 заряд EMBED Equation.3 меняется по закону EMBED Equation.3 . Найти скорость изменения заряда конденсатора. Какова величина этой скорости в начале разряда ( EMBED Equation.3 =0)? Какой физический смысл имеет скорость изменения заряда? (Ответ: EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ).

2.206 . На бактерии действуют ультрафиолетовым излучением Доля убитых бактерий (в процентах) в зависимости от времени действия излучения описывается приближенной формулой EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 - постоянная величина, определяемая видом бактерий и условиями воздействия. Получите формулу для расчета доли бактерий, уничтожаемых излучением при данных условиях за единицу времени. (Ответ: EMBED Equation.3 .