§3. Дифференцирование сложной функции.
Пусть
EMBED Equation.3
и EMBED Equation.3
-
дифференцируемые функции. Тогда сложная
функция EMBED Equation.3
есть также дифференцируемая функция,
причем
EMBED
Equation.3
.
Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.
Рассмотрим несколько примеров нахождения производной сложной функции.
Пример 1.
EMBED
Equation.3
Положим
EMBED Equation.3
,
где EMBED Equation.3
.
Тогда
EMBED
Equation.3
.
Пример 2.
EMBED
Equation.3
.
Обозначим
EMBED Equation.3
.
Тогда EMBED Equation.3
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
EMBED
Equation.3
.
Пример 3.
EMBED
Equation.3
.
Обозначим
EMBED Equation.3
.
Тогда EMBED Equation.3
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
EMBED
Equation.3
=
EMBED Equation.3
.
Пример 4.
EMBED
Equation.3
.
Положим
EMBED Equation.3
.
Тогда EMBED Equation.3
.
EMBED
Equation.3
.
Пример 5.
EMBED
Equation.3
.
Если
EMBED Equation.3
,
то EMBED Equation.3
.
Следовательно
EMBED
Equation.3
.
Пример 6.
EMBED
Equation.3
.
Положим
EMBED Equation.3
,
где EMBED Equation.3
,
а EMBED Equation.3
.
Получаем
EMBED
Equation.3
=
EMBED Equation.3
.
Пример 7.
EMBED
Equation.3
EMBED Equation.3
<1.
Если
EMBED Equation.3
то EMBED Equation.3
,
следовательно,
EMBED
Equation.3
Выполним
алгебраические преобразования и получим
окончательно
EMBED
Equation.3
.
Пример 8.
EMBED
Equation.3
Имеем
EMBED
Equation.3
Найти производные следующих сложных функций:
2.81. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.82. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|
||
2.83. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.84. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|
||
2.85. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.86. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|
||
2.87. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.88. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
2.89. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.90. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
2.91. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.92. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
2.93. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.94. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
2.95. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.96. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
2.97. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.98. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
2.99. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.100. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
2.101. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.102. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
2.103. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.104. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
2.105. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.106. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
2.107. |
EMBED Equation.3 (Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.108. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
2.109. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.110. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
2.111. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.112. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
2.113. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.114. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
2.115. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.116. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
2.117. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.118. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
2.119. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.120. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
2.121. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.122. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
2.123. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.124. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
2.125. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
2.126. |
EMBED
Equation.3
(Ответ:
EMBED Equation.3
|
|||
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
EMBED Equation.3
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)