Предварительная обработка изображений, применяемая при автоматизации измерений
…
Вычисление градиента изображения
Градиент изображения широко применяется при реализации различных способов отождествления одноименных точек на паре снимков (см. главу …), автоматизированных способах монокулярных измерений (см. главу …), а также при выделении границ объектов по изображению. Поэтому ниже рассмотрим методы вычисления градиента изображения.
Градиент изображения
в точке (x,y)
определяется как двумерный вектор
(
.1)
Из векторного анализа известно, что вектор G указывает направление максимального изменения функции f в точке (x,y). gx, gy – составляющие градиента по осям x и y. f/x и f/y – первые производные от изображения f по координатам x и y.
Рис. .1 поясняет смысл производных от изображения. Здесь приведены изображения светлого объекта простой формы на темном фоне, кривая плотностей изображения вдоль горизонтальной линии, а также первая и вторая производные этой кривой. Следует отметить, что участки кривой, соответствующие границе (переход от темной области к светлой и наоборот), представляют собой наклонные, а не вертикальные линии, какие должны быть в случае резкого изменения плотности изображения. Это связано с тем, что границы на цифровом изображении в результате дискретизации обычно слегка размыты.
Здесь первая производная всех участков кривой с постоянной плотностью равна нулю и является постоянной величиной на участках изменения плотности. С другой стороны, вторая производная равна нулю на всех участках, кроме начальных и конечных точек изменения плотности. С учетом этого, очевидно, что величина первой производной может быть использована для обнаружения наличия границ объектов на изображении, а знак второй производной – для определения того, на темной (фон) или на светлой (объект) стороне границы располагается пиксель границы. Например, знак второй производной (рис. .1) положителен для пикселей, расположенных на внешних сторонах границ объекта, и отрицателен для пикселей внутренних светлых сторон этих границ. Те же рассуждения справедливы для случая нахождения темного объекта на светлом фоне (рис. .1). Отметим, что знак второй производной при этом также позволяет определить переход плотности на границе.
На практике при определении границ часто определяют величину вектора G, называемого обычно градиентом и вычисляемого как:
(
.2)
или для упрощения вычислений градиент аппроксимируется абсолютными значениями
(
.3)
Вычисление составляющих градиента (первых производных) можно выполнить несколькими путями. Один из подходов состоит в использовании разностей между соседними пикселями
(
.4)
Однако на практике чаще используют другой подход, основанный на свертке исходного изображения размером 3х3 пикселя с маской (оператором) с центром в точке, имеющей координаты x,y. Такой подход менее чувствителен к фотометрическим шумам, которые присущи любым изображениям. Здесь градиент вычисляется не из двух соседних пикселей, а из анализа всех 9 пикселей, окружающих точку с координатами x,y.
(
.5)
где * - знак свертки; Hx, Hy – маски (операторы, фильтры).
В качестве примера маски приведем оператор Собеля, как наиболее часто употребимый при вычислении градиентов:
(
.6)
Свертка вычисляется по следующей формуле:
(
.7)
где n – число строк, а m – число столбцов в маске. Для оператора Собеля n = m = 3.
Если взять фрагмент изображения f размером 3х3 с координатами центрального пикселя x,y , то составляющие градиента для этого пикселя, с учетом ( .7) и ( .6), можно вычислить следующим образом:
(
.8)
(
.9)
Приведем некоторые другие примеры операторов:
Оператор Прайвита
(
.10)
Оператор Робертца:
(
.11)
На рис. .2а показан фрагмент цифрового снимка с изображением квадрата. Здесь пиксели, у которых значение плотности равна 10 принадлежат фону, а с плотностью равной 20 – к объекту (квадрату). На рис. .2б показано соответствующее градиентное изображение, полученное путем свертки исходного изображения с оператором Робертца ( .11), а величина самого градиента вычислялась по ( .3).
-
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
20
20
20
20
10
10
10
10
20
20
20
20
10
10
10
10
20
20
20
20
10
10
10
10
20
20
20
20
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
а)
-
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
20
20
20
10
0
0
0
20
0
0
0
20
0
0
0
20
0
0
0
20
0
0
0
20
0
0
0
20
0
0
0
10
20
20
20
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
б)
Рис. .2
Производные второго порядка от изображения вычисляются с помощью оператора Лапласа:
(
.12)
Для дискретных изображений оператар Лапласа определяется следующим образом:
(
.13)
Хотя оператор Лапласа определяет переход плотности, он редко сам по себе используется для нахождения границ. Дело в том, что, являясь оператором производных второго порядка, оператор Лапласа дает результат обычно очень чувствительный к помехам. Таким образом, этот оператор, как правило, выполняет второстепенную роль при определении, на какой из сторон (темной или светлой) границы находится данный пиксель.