4. Отождествление соответственных точек по методу наименьших квадратов в пространстве объекта

Как отмечалось выше геометрические искажения (несоответствия) двух фрагментов снимков можно учесть, при отождествлении одноименных точек по методу наименьших квадратов, используя перспективные преобразования. Для этого расширяют модель данного метода за счет включения в исходное уравнение уравнений коллинеарности. Такой подход позволяет выполнить отождествление сразу для множества одноименных точек, учитывая не только фотометрическое соответствие точек, но и геометрию построения фотограмметрической модели.

Такая модификация метода наименьших квадратов чаще всего применяется при построении цифровой модели рельефа и ортофотоплана.

Рис. 8

Соотношение между плотностью изображения F(XY) на ортофото точки местности (XYZ) и плотностями соответствующих точек на исходных снимках f_i(x_i,y_i) может быть записано следующим образом:

(16)

где

k_i – коэффициенты фотометрических преобразований (i – номер снимка), а

(17)

Предположим, что элементы внутреннего и внешнего ориентирования снимков известны, тогда в уравнениях (16) с учетом (17) неизвестными являются: плотность пикселя на ортофото F с заданными координатами XY; отметка Z соответствующей точки местности и коэффициенты k_i фотометрических преобразований снимков. Причем для одного из снимков этот коэффициент фиксируют, приняв равным 1, чтобы избежать неопределенности в определении этих коэффициентов.

Уравнение (16) можно составить для каждого пикселя ортофото. Для этого сначала по координатам XY пикселя ортофото определяют приближенную высоту Z^o соответствующей точки местности, используя для этого приближенную цифровую модель рельефа (ЦМР). Затем по уравнениям (17) вычисляют координаты соответствующих точек на исходных снимках, по которым берется (методом двойного линейного интерполирования) плотность f_i.

Уравнение (16) нелинейно относительно неизвестных, поэтому переходят к линейным уравнениям поправок

, (18)

которые решают по способу наименьших квадратов методом последовательных приближений. В результате находят плотности пикселей ортофото и соответствующие высоты точек местности.

Если элементы внешнего ориентирования снимков неизвестны, то их можно найти совместно с решением основной задачи по построению ортофото и ЦМР на основе уравнений (16). Тогда уравнения поправок примут вид:

(19)

Кроме того, в этом случае к общей системе уравнений (19) следует добавить обычные уравнения поправок для опорных точек, полученные из уравнений коллинеарности (17)

Данный метод отождествления одноименных точек с одновременным построением цифровой модели рельефа реализуется в случае, если на данный участок местности имеется более двух снимков. Для двух снимков общее число неизвестных, подлежащих одновременному определению, превышает число уравнений.

Число неизвестных N можно подсчитать по формуле:

где P – число точек ЦМР подлежащих определению (число пикселей ортофото); S – число снимков.

Число уравнений М равно:

Предположим, например, что мы хотим построить ЦМР состоящую из 100 точек (Р=100) по двум снимкам (S=2), при этом элементы внешнего ориентирования снимков известны. Тогда:

, а

Таким образом, задача не решается (N>M) по двум снимкам. Если добавить третий снимок, то максимальное значение М (если все точки изобразились и на третьем снимке) будет равно М = 300. В этом случае задача решается (N<M).

Слабым местом метода является необходимость знания хороших начальных приближений для цифровой модели рельефа и большое число приближений. Для уменьшения числа приближений в этом методе часто применяют пирамиду исходных изображений.