4. Для неідеального ґазу, що підпорядковується рівнянню Ван-дер-Ваальса : (4.123)

(4.124)

. (4.125)

5. Для фотонного ґазу .

5.3. Зв’язок теплоємности з коефіцієнтом стискуваности ґазу

Із співвідношенням пов’язане співвідношення ,

де коефіцієнт адіабатної стискуваности:

, (4.126)

а коефіцієнт ізотермної стискуваности:

. (4.127)

Так як , то К_S, K_t > 0. (4.128)

У рівняння адіабати

(4.129)

підставимо вираз

, (4.130)

отримаємо

(4.131)

. (4.132)

Продиференціюємо рівняння (4.132) за dV при S=const, отримаємо:

(4.133)

Звідки (4.134)

За допомогою рівняння

(4.135)

запишемо для змінних x=V, y=p, z=T добуток частинних похідних:

. (4.136)

Представимо (4.136) у вигляді:

(4.137)

і підставимо вираз (4.137) в рівняння (4.134), отримаємо:

. (4.138)

Звідки

; (4.139)

. (4.140)

Враховуючи рівняння (4.126) і (4.127), отримаємо:

. (4.141)

Звідки

. (4.142)

4 .4. Теплоємність під час оборотнього політропного процесу ідеального ґазу

З рівняння

(4.143)

для політропного кінцевого процесу 1→2 витікає (після інтегрування):

. (4.144)

Відомо, що , або в інтегральній формі (при с_V=const)

, (4.145)

то робота в політропному процесі

. (4.146)

Тоді (4.144) перетвориться у вираз:

(4.147)

де − показник політропи. Коли (випадок сталої ) і можливість інтеґрування рівняння .

Врахуємо в (4.147) такі співвідношення:

; − показник ізоентропи (оборотньої адіабати), коли (випадок сталої теплоємности) і можливістю інтеґрування рівняння .

Тоді

. (4.148)

Із визначення теплоємности маємо:

(4.149)

, (4.150)

де − показник політропи ;

− показник адіабати .

Як видно з (4.150) величина теплоємности ідеального ґазу, залежить від показників політропи та адіабати для даного ґазу і заданого інтервалу температур.

Проаналізуємо отримане співвідношення (4.150) для обчислення політропної теплоємности ідеального ґазу:

1) для групи політропних процесів розширення рівняння (4.150) представимо у вигляді:

, (4.151)

а) при , , , тоді

. (4.152)

З рівняння , після перетворення , отримаємо

; при , , маємо ізохору .

З ═> , . (4.153)

Для політропного процесу з показником політропна теплоємність дорівнює ізохорній ;

б) при , ;

в) з рівняння (4.150) при , , а коефіцієнт Пуассона , то

. (4.154)

З рівняння , , , .

Для політропного процесу з показником політропи політропна теплоємність дорівнює ізобарній ;

г) при , ; (4.155)

ґ) при , (4.156)

(І група політропних процесів розширення зображена на рис.4.8);

д) при знаменник рівняння (4.150) ,

то , , . (4.157)

Для політропного процесу з показником політропи політропна теплоємність є ізотермна;

е) при , (ІІ група політропних процесів розширення); у цих процесах розширення газ виконує роботу, яка перевищує ту кількість тепла, що підводиться до ґазу в процесі розширення. Решту енергії на виконання роботи витрачається за рахунок частини внутрішньої енергії, що веде до зниження температури ґазу. Тобто є випадок, коли тепло до системи підводиться, але температура системи зменшується:

, то . (4.158)

p

n<0 C_V < C_n<C_p

n = 0 (p=const) C_n = C_p a

0 <n <1 C_n >C_p

n=1 (pV = const) C_n =C_t→ ± ∞

1<n<K C_n < 0

n > k n=k(pV^k=const) C_n = C_S = 0

n → ± ∞ (V = const)

C_n = C_V

V

T 0<C_n<C_V C_n = C_V (n→ ± ∞) V = const

C_V < C_n <C_p

C_n = C_p (n = 0) p = const

C_n > C_p

b

C_t → ± ∞ (n = 1) T = const

C_n < 0

C_n = 0 (n = K) S = const

S

Рис.4.8. Політропні процеси, які зображені в р-v (a) і T-s (б) координатах

є) при , (4.159)

– це рівняння адіабати, то для політропного процесу з показником політропи політропна теплоємність дорівнює оборотній адіабатній (ізоентропній) теплоємности;

ж) при , (4.160)

(ІІІ група політропних процесів розширення);

з) далі , і т.і. (4.161)

Далі попередній зміст повторюється для груп політропних процесів стискання (рис.4.8).

Залежність теплоємности політропного процесу від величини показника політропи зображена на рис.4.9.

Тут ,

(4.162)

,