8.8 Методи лінійного програмування.

Однією з найважливіших задач оптимізації є задача математичного програмування, що полягає в пошуку екстремуму (мінімуму або максимуму) функції при умовах

Якщо функції , , , — лінійні, а область задається обмеженнями вигляду , , то вказана задача називається задачею лінійного програмування (ЗЛП). Уперше постановка ЗЛП та один із методів її розв'язання були запропоновані Л.В. Канторовичем у роботі "Математические методы организации и планирования производства" у 1939 році. У 1947 році Дж. Данціг розробив симплексний метод (симплекс-метод) — один із основних методів розв'язування ЗЛП. З тих пір теорія лінійного програмування бурхливо розвивалася і нині носить цілісний, в основному, закінчений характер.

Зауважимо, що на розвиток теорії лінійного програмування суттєво впливало її застосування до розв'язування (з широким використанням ЕОМ) прикладних задач, пов'язаних з оптимальним плануванням, організацією та управлінням у різноманітних сферах людської діяльності.

Систематичне вивчення теорії лінійного програмування розпочнемо з розгляду типових, що стали класичними, прикладів ЗЛП.

Транспортна задача лінійного програмування

Викладені вище методи розв'язування ЗЛП є універсальними. Однак існує цілий ряд ЗЛП, для яких внаслідок їх специфіки застосування загальних методів спрощується. Одною з таких задач є транспортна задача лінійного програмування (ГЗЛГ7).

Нагадаємо, що математична модель ТЗЛП має вигляд:

, (2.1)

, (2.2)

, (2.3)

, (2.4)

. (2.5)

Зауважимо, що умова (2.5) визначає збалансовану (закриту) модель ТЗЛП, якій буде приділена головна увага.

Очевидно, що (2.1)-(2.4) — це СЗЛП у координатній формі, її можна записати також у матричній формі. Для цього введемо такі позначення:

— вектор перевезень,

— вектор виробництва-споживання,

— вектор комунікації (його розмірність дорівнює т+ n , перша 1 стоїть на i -у місці, друга — на m + j - y ),

— вектор транспортних витрат,

—матриця умов.

Тоді ТЗЛП (2.1)-(2-4) набирає вигляду:

.

Специфіка цієї задачі полягає в тому, що елементами матриці умов А є лише нулі та одиниці, причому нулів — більшість.

Зауважимо, що при необхідності вектор транспортних витрат с можна розглядати як матрицю , а вектор перевезень — як матрицю .

При ручних обчисленнях дані для ТЗЛП та результати обчислень, пов'язаних з її розв'язанням, заносяться до транспортної таблиці.

Транспортна таблиця

		...		...
		...		...
...	...	...	...	...	...	...
		...		...
...	...	...	...	...	...	...
		...		...
		...		...

 

При цьому транспортні витрати записуються у верхньому правому куті відповідної клітинки транспортної таблиці. Як правило, компоненти вектора перевезень заносяться до транспортної таблиці лише тоді, коли > 0. У цьому випадку відповідна клітинка транспортної таблиці називається заповненою, інакше — вільною.