- •2.Раскрытие неопределённости по правилу Лопиталя.
- •3.Формула Тейлора.
- •4.Формула Маклорена.
- •Остаточный член
- •5.Монотонность и экстремумы функции.
- •6.Промежутки выпуклости.7.Точка перегиба.
- •8.Асимптоты графика функции.
- •9.Анализ свойств функции, и её построение.
- •10.Неопределённый интеграл.
- •11. Свойства неопределённого интеграла.
- •12.Методы интегрирования (метод разложения).
- •18.Дифференциальные биномы.
- •Выразимость в элементарных функциях
- •[Править]Связь с бета-функцией и гипергеометрической функцией
- •19.Интегрирование тригонометрических функций.
- •20.Определённый интеграл.
- •22. Формула Ньютона-Лейбница.
- •23.Формула замены переменной (интегрирование подстановкой).
- •24. Интегрирование по частям определённого интеграла.
- •25.Несобственные интегралы. Интеграл от неограниченной функции.
- •27. Интеграл с бесконечными пределами.
- •28.Приложения определенного интеграла.
- •Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой.
- •31.Площадь криволинейного сектора и сегмента.
- •33.Объем произвольного тела.
- •34.Объем тела вращения.
- •35.Площадь поверхности вращения
- •36. Механические приложения определённого интеграла (работа сил, статические моменты, центр тяжести).
- •38. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность.
- •40. Полный дифференциал.
- •41.Производные сложных функций.
- •42. Производная по направлению. Градиент
- •43.Частные производные и дифференциалы высших порядков.
- •44. Дифференцирование неявных функции.
- •45.Замена переменных в дифференциальных выражениях
- •46. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •47. Экстремумы функции нескольких переменных.
- •48.Абсолютный экстремум
- •49. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
- •50. Геометрические приложения (Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой, к поверхности заданной явно, к поверхности заданной неявно).
- •51. Двойные интегралы.
- •52.Свойства двойных интегралов.
- •53.Теорема о среднем значении. Сведение двойных интегралов к повторным.
- •54. Замена переменных в двойных интегралах.
- •55. Тройные интегралы.56.Сведение к повторным.57.Замена переменных
- •58. Интегрирование непрерывной функции по неограниченной области.
- •66. Формула Грина и её применение.
- •69. Формула Стокса. Формула Остроградского.
38. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность.
δ –окрестностью точки называется внутренность круга радиуса δ с центром в этой точке.
Иначе говоря, это множество всех точек , для которых выполняется неравенство , то есть расстояние . (рис.16).
Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой области G плоскости Oxy и точка .
Число A называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для любого числа найдется такая – окрестность точки , что для любой точки P из этой окрестности, кроме, может быть, самой точки , имеет место неравенство .
Обозначают: или
Для функции трех переменных – окрестностью точки является множество всех внутренних точек шара радиуса с центром в точке , определение предела сохраняется.
Функция нескольких переменных называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.
Правила предельного перехода, установленные для функции одной переменной, остаются справедливыми.
Функция называется непрерывной в точке , если
1) функция определена как в самой точке , так и в некоторой ее окрестности;
2) существует предел ;
3) этот предел равен значению функции в предельной точке: .
Условия (2) и (3) можно заменить равносильным требованием: бесконечно малому расстоянию соответствует бесконечно малое приращение функции .
Справедлива теорема:
Если функции нескольких переменных и непрерывны в точке , то в той же точке непрерывны и их сумма , разность , произведение и частное (последнее–если ).
Точка называется точкой разрыва функции , если для нее не выполняется хотя бы одно из трех условий в определении непрерывности.
Точки разрыва данной функции могут располагаться как отдельно (изолированные точки разрыва), так и заполнять целые линии (линии разрыва).
Например, функция имеет единственную точку разрыва , а функция –множество точек разрыва, то есть линию разрыва x+y–1=0.
Областью (открытой областью) называется множество точек плоскости, обладающее свойствами:
каждая точка области принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью (свойство открытости);
всякие две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области (свойство связности).
Точка называется граничной точкой области G, если любая окрестность этой точки содержит как точки области G, так и точки, ей не принадлежащие.
Множество всех граничных точек области называется ее границей.
Если к открытой области присоединить ее границу, то полученное множество точек называется замкнутой областью.
Область называется ограниченной, если можно подобрать круг, полностью ее покрывающий. В противном случае область называетсянеограниченной.
Функция называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Имеет место теорема:
Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области
ограничена: ;
принимает наименьшее и наибольшее значения (соответственно m и M);
принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между m и M.
39.частные производные и дефференциалы. Полный дифференциал Определение 10. Пусть функция у = f(X) определена в некоторой окрестности точки Х0. Если зафиксировать все переменные, кроме xi, получим функцию одной переменной xi:
Производная функции y(xi) в точке xi = xi0 называется частной производной функции у = f(X) в точке Х0 по переменной xi. Обозначение: Определение 11. Линейные функции переменных dxi называются частными дифференциалами функции у = f(X). Обозначение: dxiy Определение 12. Функция у = f(X) называется дифференцируемой в точке Х0, если существуют числа A1, А2,..., Аn такие, что полное приращение функции имеет вид:
При этом линейная часть приращения A1 • x1 + ... + Аn • xn называется полным дифференциалом функции f(X) в точке Х0. Теорема 2. Если функция f(X) дифференцируема в точке Х0, то ее полный дифференциал в этой точке имеет вид:
Замечание. При расчете частных производных необходимо помнить следующее. 1. Все правила вычисления производных и все табличные производные функций одной переменной сохраняют силу. 2. При частном дифференцировании функции z = f(x; у) по переменной х переменную у считаем фиксированной, т. е. константой. Поэтому, в частности, производная по х от любого выражения, зависящего только от у, равна 0. Например,
И вообще, (f(y))'x = 0. В произведении любой множитель, зависящий только от y, выполняет роль множителя-константы. Например,
И вообще, (f(y) • g(x))'x = f(y) • g'(x). 3. Аналогичным образом выполняется частное дифференцирование функции z = f(x; у) по переменной у. Полный дифференциал