1. Физический смысл производной и дифференциала.

Физический смысл производной. 

Пусть x —время, а y = f(x) —координата точки, движущейся по оси

Oy, в момент времени x. Разностное отношение

∆y/∆x=f(x +∆ x) − f(x)/∆x

называется средней скоростью точки на промежутке времени от момента

x до момента x + ∆x, а величина (∆x-0)lim ∆y/∆x= f’ (x) = v(x)

называется мгновенной скоростью точки в момент времени x.

В случае произвольной функции y = f(x) производная f’(x) характеризует скорость изменения переменной y (функции) по отношению к изменению аргумента x.

Физический смысл дифференциала функции.

Пусть x —время, y = f(x)-координата точки на оси Oy в момент времени x.Тогда ∆y = f(x + ∆x) − f(x) —изменение (приращение) координаты за промежуток времени от момента x до момента x+∆x. При этом dy = f’(x) · ∆x = v(x) · ∆x, то есть дифференциал равен тому изменению координаты, которое имела бы точка, если бы ее скорость v(x) на отрезке времени [x,x + ∆x] была постоянной, равной f’(x).

2.Раскрытие неопределённости по правилу Лопиталя.

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или

.

Тогда, если существует предел отношения производных этих функций

  ,

то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

(1)

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

Например, найти  . Этот предел существует  . Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x приx→∞ не стремится ни к какому пределу.

Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.Для раскрытия неопределенностей 1^∞, 1⁰, ∞⁰ нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

3.Формула Тейлора.

Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x₀  (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x₀ приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значенийf(x) в окрестности точки x₀ можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x).

Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = P_n(x). Будем искать его в виде

(1)

В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты  .

Для того чтобы этот многочлен был "близок" к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:

Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты   многочлена P_n(x) исходя из условия равенства производных.

Введем обозначение n! = 1·2·3…n, 0! = 1, 1! = 1.

Подставим в (1) x = x₀ и найдем  , но с другой стороны  . Поэтому 

Далее найдем производную   и вычислим   Следовательно,  .

Учитывая третье условие и то, что

,

получим  , т.е.  .

Далее  . Значит,  , т.е.  .

Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула 

Подставляя найденные значения коэффициентов   в формулу (1), получим искомый многочлен:

Обозначим   и назовем эту разность n-ым остаточным членом функции f(x) в точке x₀. Отсюда   и, следовательно,   если остаточный член будет мал.

Оказывается, что если x₀  (a, b) при всех x  (a, b) существует производная f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x), то для произвольной точки x  (a, b) существует точка, лежащая между x₀ и x такая, что остаток можно представить в виде:

Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.

Формула

 где x  (x₀, x) называется формулой Тейлора.

Если в этой формуле положить x₀ = 0, то она запишется в виде

где x  ( x₀, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена.