28.Приложения определенного интеграла.

1. Вычисление площади криволинейной трапеции.

П ример. Вычислить площадь ограниченную эллипсом   

Ввиду очевидной симметрии эллипса относительно осей координат, достаточно вычислить четвёртую часть площади, расположенную в правом верхнем квадранте.

Из уравнения эллипса находим y как функцию от x: y(x)=b

Тогда площадь эллипса вычисляем по формуле:

 Сделав замену x=asint,   получим интеграл: 

Площадь «сложной» фигуры

Под «сложной» фигурой будем понимать часть плоскости, ограниченную непрерывными на отрезке [а; b] кривыми у = f(x) и у = g(x) (f(x)   g(x), x   [а; b]) и прямыми х = а, х = b. Площадь «сложной» фигуры находится по формуле:

Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой.

При выяснении геометрического смысла определенного интеграла, мы получили формулу для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, прямыми x = a, x = b и непрерывной неотрицательной (неположительной) функцией y = f(x). В некоторых случаях функцию, которая ограничивает фигуру, удобно задать в параметрическом виде, то есть, представить функциональную зависимость через параметр t. В этой статье мы разберемся, как находить площадь фигуры в случае параметрического задания ограничивающей кривой. После краткого обзора теории и вывода формулы, мы подробно рассмотрим решение характерных примеров на нахождение площади. Пусть границами криволинейной трапеции являются прямые x = a, x = b, ось абсцисс и параметрически заданная кривая  , причем функции   и   непрерывны на интервале  ,   монотонно возрастает на нем и  . Тогда площадь криволинейной трапеции находится по формуле  . Эта формула получается из формулы площади криволинейной трапеции   подстановкой  :   Если функция   является монотонно убывающей на интервале  , то формула примет вид  . Если функция   не является основной элементарной, то для выяснения ее возрастания или убывания может потребоваться теория из раздела возрастание и убывание функции на интервале.

31.Площадь криволинейного сектора и сегмента.

     Пусть кривая L задана в полярной системе координат уравнением r = r(θ), α ≤ θ ≤ β (см. Рис. 3), причем функция r(θ) непрерывна и неотрицательна на сегменте [α, β]. Плоскую фигуру, ограниченную кривой L и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы α и β, будем называть криволинейным сектором.

     Докажем следующее утверждение. Криволинейный сектор представляет собой квадрируемую фигуру, площадь P которой может быть вычислена по формуле

     (2)

     Доказательство. Рассмотрим разбиение T сегмента [α, β] точками α = θ₀ < θ₁ < ... < θ_n = β и для каждого частичного сегмента [θ_i-1, θ_i] построим круговые секторы, радиусы которых равны минимальному r_i и максимальному R_i значениям r(θ) на сегменте [θ_i-1, θ_i]. В результате получим две веерообразные фигуры, первая из которых содержится в криволинейном секторе, а вторая содержит криволинейный сектор (эти веерообразные фигуры изображены на Рис. 3). Площади   и   указанных веерообразных фигур равны соответственно   и  . Отметим, что первая из этих сумм является нижней суммой s для функции   для указанного разбиения T сегмента [α, β], а вторая сумма является верхней суммой S для этой же функции и этого же разбиения. Так как функция   интегрируема на сегменте [α, β], то разность   может быть как угодно малой. Например, для любого фиксированного ε > 0 эта разность может быть сделана меньше ε/2. Впишем теперь во внутреннюю веерообразную фигуру многоугольник Q_i с площадью S_i, для которого  , и опишем вокруг внешней веерообразной фигуры многоугольник Q_d площадью S_d, для которого  ^*. Очевидно, первый из этих многоугольников вписан в криволинейный сектор, а второй описан вокруг него. Так как справедливы неравенства

     (3)

то, очевидно, S_d - S_i < ε. В силу произвольности ε, отсюда вытекает квадрируемость криволинейного сектора. Из неравенств (3) вытекает справедливость формулы (2).

Площадь криволинейного сектора и сегмента Площадь сектора, ограниченного непрерывной кривой r = r( ) и лучами   =  ;   =   (  <  ), равна Площадь сегмента, ограниченного непрерывными кривыми r = r( ) и р = р( ) и лучами   =  ;   =   (  <  ), равна