33.Объем произвольного тела.

Объём произвольного тела может быть вычислен с помощью интегрального исчисления. Если задано тело вращения заданное функцией y = f(x), то его объём можно определить по формуле

34.Объем тела вращения.

Объем тела вращения равен 

Придадим x приращение Δx > 0 (x + Δx < b). Построим два цилиндра с общей высотой Δx (рис. 7.2.2). Меньший цилиндр имеет своим основанием круг площадью S (x), а больший – круг площадью S (x + Δx). Если ΔV – прирост объема тела вращения, то S (x)Δx < ΔV < S (x + Δx)Δx, откуда 

Поскольку функция f (x) непрерывна, то непрерывна и функция 

следовательно, 

Переходя к пределу в двойном неравенстве, имеем 

то есть V' (x) = S (x).

Объем V (x) является первообразной для функции S (x) на промежутке [a; b]. Отсюда имеем 

35.Площадь поверхности вращения

Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостныйгиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых. Площадь поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равна произведению длины кривой на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра масс кривой. Это утверждение называется второй теоремой Гюльдена, или теоремой Паппа о центроиде.

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой   вокруг оси   можно вычислить по формуле

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой   вокруг оси  можно вычислить по формуле

Для случая, когда кривая задана в полярной системе координат   действительна формула

36. Механические приложения определённого интеграла (работа сил, статические моменты, центр тяжести).

Вычисление работы сил

Материальная точка движется по непрерывно дифференцируемой кривой, при этом на нее действует сила, направленная по касательной к траектории в направлении движения. Полная работа, совершаeмая силой F(s):

Если положение точки на траектории движения описывается другим параметром, то формула приобретает вид:

Вычисление статических моментов и центра тяжести Пусть на координатной плоскости Оху некоторая масса М распределена с плотностью р = р(у) на некотором множестве точек S (это может быть дуга кривой или ограниченная плоская фигура). Обозначим s(у) - меру указанного множества (длина дуги или площадь). Определение 2. Число   называется k-м моментом массы М относительно оси Ох. При k = 0 М₀ = М - масса, k = 1 М₁ - статический момент, k = 2 М₂ - момент инерции. Аналогично вводятся моменты относительно оси Оу. В пространстве подобным же образом вводятся понятия моментов массы относительно координатных плоскостей. Если р = 1, то соoтветствующие моменты называются геометрическими. Координаты центра тяжести однородной (р - const) плоской фигуры определяются по формулам:

где М₁^y, М₁^x - геометрические статические моменты фигуры относительно осей Оу и Ox; S - площадь фигуры.

37. n-мерное евклидово пространство.

Определение 1. Упорядоченная последовательность n действительных чисел {х₁, х₂;...; х_n} называется точкой п- мерного пространства, при этом числа x_i, i = 1,..., n называются координатами точки. Обозначение: X = (х₁, х₂;...; х_n). Определение 2. Если для любых двух точек X = (х₁, х₂;...; х_n) и У = (y₁, y₂;...; y_n) n-мерного пространства определено расстояние между ними по формуле

,

то такое пространство называется n-мерным евклидовым. Обозначение: Еⁿ. Определение 3. Пусть X - фиксированная точка пространства Еⁿ;   > 0 - произвольное положительное число. Множество точек Y пространства Еⁿ таких, что

р(Х; Y) ,

называется n-мерным шаром с центром в точке X и радиусом   или просто  -окрестностъю точки X в пространстве Еⁿ. Определение 4. Если существует отображение множества натуральных чисел в множество точек пространства Еⁿ

то множество точек Х₁; Х₂; ... называется последовательностью точек этого пространства. Обозначение: {Х_m}. Определение 5. Точка X   Еⁿ называется пределом последовательности {Х_m}, если Определение 6. Пусть Е   Еⁿ - некоторое подмножество n-мерного евклидова пространства. Отображение точек множества Е в множество действительных чисел R называется функцией п переменных. Обозначение: у = f(х₁, х₂;...; х_n); у = f(Х). Множество Е называется областью определения функции n переменных.