- •2.Раскрытие неопределённости по правилу Лопиталя.
- •3.Формула Тейлора.
- •4.Формула Маклорена.
- •Остаточный член
- •5.Монотонность и экстремумы функции.
- •6.Промежутки выпуклости.7.Точка перегиба.
- •8.Асимптоты графика функции.
- •9.Анализ свойств функции, и её построение.
- •10.Неопределённый интеграл.
- •11. Свойства неопределённого интеграла.
- •12.Методы интегрирования (метод разложения).
- •18.Дифференциальные биномы.
- •Выразимость в элементарных функциях
- •[Править]Связь с бета-функцией и гипергеометрической функцией
- •19.Интегрирование тригонометрических функций.
- •20.Определённый интеграл.
- •22. Формула Ньютона-Лейбница.
- •23.Формула замены переменной (интегрирование подстановкой).
- •24. Интегрирование по частям определённого интеграла.
- •25.Несобственные интегралы. Интеграл от неограниченной функции.
- •27. Интеграл с бесконечными пределами.
- •28.Приложения определенного интеграла.
- •Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой.
- •31.Площадь криволинейного сектора и сегмента.
- •33.Объем произвольного тела.
- •34.Объем тела вращения.
- •35.Площадь поверхности вращения
- •36. Механические приложения определённого интеграла (работа сил, статические моменты, центр тяжести).
- •38. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность.
- •40. Полный дифференциал.
- •41.Производные сложных функций.
- •42. Производная по направлению. Градиент
- •43.Частные производные и дифференциалы высших порядков.
- •44. Дифференцирование неявных функции.
- •45.Замена переменных в дифференциальных выражениях
- •46. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •47. Экстремумы функции нескольких переменных.
- •48.Абсолютный экстремум
- •49. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
- •50. Геометрические приложения (Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой, к поверхности заданной явно, к поверхности заданной неявно).
- •51. Двойные интегралы.
- •52.Свойства двойных интегралов.
- •53.Теорема о среднем значении. Сведение двойных интегралов к повторным.
- •54. Замена переменных в двойных интегралах.
- •55. Тройные интегралы.56.Сведение к повторным.57.Замена переменных
- •58. Интегрирование непрерывной функции по неограниченной области.
- •66. Формула Грина и её применение.
- •69. Формула Стокса. Формула Остроградского.
27. Интеграл с бесконечными пределами.
Пусть функция f(x) определена и непрерывна при х ≥ а. Тогда интеграл имеет смысл при любом b > a и является непрерывной функцией аргумента b.
Определение 15.1. Если существует конечный предел
, (15.1)
то его называют несобственным интегралом 1-го рода от функции f(x) на интервале и обозначают . Таким образом, по определению
= . (15.2)
При этом говорят, что несобственный интеграл существует или сходится. Если же не существует конечного предела (15.1), несобственный интеграл не существует или расходится.
y Повторим, что геометрической интерпрета-
y=f(x) цией несобственного интеграла 1-го рода
является площадь неограниченной области,
расположенной между графиком функции
y=f(x) , прямой х = а и осью Ох.
a b
Замечание. Аналогичным образом можно определить и несобственные интегралы 1-го рода для других бесконечных интервалов:
(15.3)
В частности, последний интеграл существует только в том случае, если сходятся оба интеграла, стоящие в правой части равенства.
Часто достаточно бывает только установить сходимость или расходимость несобственного интеграла и оценить его значение.
Лемма.
Если на интервале [a, +∞), то для сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы множество всех интегралов (b > a) было ограничено сверху, то есть чтобы существовала такая постоянная c > 0, чтобы выполнялось неравенство . (15.4)
Доказательство.
Рассмотрим функцию и покажем, что в условиях леммы она монотонно возрастает на [a, +∞). Действительно, при = +
+ =g(b), так как при 0. Следовательно, функция g(b) монотонно возрастает и ограничена сверху, поэтому она имеет конечный предел при , что по определению означает существование интеграла .
Теорема 15.1 (признак сравнения). Пусть при . Тогда:
если интеграл сходится, то сходится и интеграл ;
если интеграл расходится, то расходится и интеграл .
Доказательство.
Из условия теоремы следует, что . Поэтому, если интегралы ограничены сверху (по лемме), то сверху ограничены и интегралы , следовательно, сходится (по той же лемме). Если же интеграл расходится, то, если бы интеграл сходился, то по ранее доказанному должен был бы сходиться, что противоречит сделанному предположению. Значит, в этом случае расходится. Теорема полностью доказана.
Следствие.
Пусть на [a,∞), и существует конечный или бесконечный предел , то:
а) если интеграл сходится и , то сходится и интеграл ;
б) если интеграл расходится и , то интеграл тоже расходится.
В частности, если k = 1, то есть функции f(x) и φ(х) эквивалентны при , то интегралы и сходятся и расходятся одновременно.
При применении признака сравнения удобно сравнивать подынтегральную функцию с функцией , α > 0, для которой сходимость или расходимость соответствующего несобственного интеграла легко установить непосредственно. Пусть тогда
. При α = 1
. Следовательно, сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1.
Пример.
Исследуем на сходимость . При подынтегральная функция эквивалентна . Таким образом, α = 2 > 1, и данный интеграл сходится.