- •2.Раскрытие неопределённости по правилу Лопиталя.
- •3.Формула Тейлора.
- •4.Формула Маклорена.
- •Остаточный член
- •5.Монотонность и экстремумы функции.
- •6.Промежутки выпуклости.7.Точка перегиба.
- •8.Асимптоты графика функции.
- •9.Анализ свойств функции, и её построение.
- •10.Неопределённый интеграл.
- •11. Свойства неопределённого интеграла.
- •12.Методы интегрирования (метод разложения).
- •18.Дифференциальные биномы.
- •Выразимость в элементарных функциях
- •[Править]Связь с бета-функцией и гипергеометрической функцией
- •19.Интегрирование тригонометрических функций.
- •20.Определённый интеграл.
- •22. Формула Ньютона-Лейбница.
- •23.Формула замены переменной (интегрирование подстановкой).
- •24. Интегрирование по частям определённого интеграла.
- •25.Несобственные интегралы. Интеграл от неограниченной функции.
- •27. Интеграл с бесконечными пределами.
- •28.Приложения определенного интеграла.
- •Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой.
- •31.Площадь криволинейного сектора и сегмента.
- •33.Объем произвольного тела.
- •34.Объем тела вращения.
- •35.Площадь поверхности вращения
- •36. Механические приложения определённого интеграла (работа сил, статические моменты, центр тяжести).
- •38. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность.
- •40. Полный дифференциал.
- •41.Производные сложных функций.
- •42. Производная по направлению. Градиент
- •43.Частные производные и дифференциалы высших порядков.
- •44. Дифференцирование неявных функции.
- •45.Замена переменных в дифференциальных выражениях
- •46. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •47. Экстремумы функции нескольких переменных.
- •48.Абсолютный экстремум
- •49. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
- •50. Геометрические приложения (Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой, к поверхности заданной явно, к поверхности заданной неявно).
- •51. Двойные интегралы.
- •52.Свойства двойных интегралов.
- •53.Теорема о среднем значении. Сведение двойных интегралов к повторным.
- •54. Замена переменных в двойных интегралах.
- •55. Тройные интегралы.56.Сведение к повторным.57.Замена переменных
- •58. Интегрирование непрерывной функции по неограниченной области.
- •66. Формула Грина и её применение.
- •69. Формула Стокса. Формула Остроградского.
4.Формула Маклорена.
формула, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу.
где
здесь — натуральное, — числа Бернулли, — достаточно гладкая функция, чтобы иметь производные , — многочлен Бернулли, — дробная часть x. В случае, когда мало, получаем хорошее приближение для суммы.
Многочлены Бернулли определяются рекуррентно как
Выражение называется периодической функцией Бернулли.
Остаточный член
Остаточный член R может быть легко выражен в терминах :
или эквивалентным образом, получаемым интегрированием по частям, предполагая, что дифференцируема еще раз, и вспоминая, что нечетные числа Бернулли равны нулю:
где . Можно показать, что
где обозначает дзета-функцию Римана. Равенство достигается для четных n и . С помощью этого неравенства остаточный член оценивается как
5.Монотонность и экстремумы функции.
Функция называется возрастающей если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а меньшему соответствует меньше.
Функция называется убывающей если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, а меньшему соответствует большее.
Теорема. У возрастающей функции производная больше 0 ( ).
Доказательство:
Экстремумы функции.
Т очка -называется точкой max, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности .
Точка -называется точкой min, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности .
Необходимый признак экстремума, если -точка экстремума.
Если и , то это точка экстремума.
Если - точка экстремума и существует , то производная =0. Точка, в которой производная, равна нулю, называется критической точкой.
, теорема Логранжа.
Первый достаточный признак экстремума.
Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”+” на “-“,то в этой точке максимум.
Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”-” на “+“,то в этой точке минимум.
Второй достаточный признак экстремума.
Если в критической точке 2-ая производная больше нуля, то это точка минимума, а если в критической точке 2-ая производная меньше нуля, то это точка максимума.
Пример:
6.Промежутки выпуклости.7.Точка перегиба.
График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (или вверх) на промежутке (a; b), если на этом промежутке график функции располагается ниже (или выше, соответственно) касательных, проведенных в любой точке этого промежутка (a; b). За исключением самой точки касания. А точки, в которых меняется направление выпуклости, называются точками перегиба. Если на промежутке (a; b) функция y=f(x) дважды дифференцируемая, то в случае f”(x)>0 график функции выпуклый вниз, а если f”(x)<0, то он выпуклый вверх.И, соответственно, точки, в которых знак второй производной меняется с плюса на минус, и будут точками перегиба.
Определение 1. Функция называется выпуклой вверх (вниз) в точке , если ее график в некоторой окрестности точки лежит ниже (выше) касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой, равной .
Определение 2. Если в любой точке множества , функция выпукла вверх (вниз), то такую функцию называют выпуклой вверх (вниз) на промежутке .
Определение 3. Второй производной функции называется функция, являющаяся производной от производной функции .
Теорема. Если функция имеет положительную (отрицательную) вторую производную в каждой точке промежутка , то выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.
Точка перегиба функции внутренняя точка области определения , такая что непрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, и является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот.