
- •Однородные системы
- •[Править]Пример
- •[Править]Неоднородные системы
- •[Править]Пример
- •Ранг системы векторов. Базис системы векторов
- •Алгоритм Гаусса для нахождения ранга и базиса системы векторов
- •Линейная независимость
- •[Править]Пример
- •[Править]Определение
- •[Править]Свойства
- •[Править]Значение
- •Подкольцо
- •Комплексное число
- •Определения
- •Стандартная модель
- •Матричная модель
- •Замечания
- •Действия над комплексными числами
- •Геометрическая модель
- •Связанные определения
- •Модуль и аргумент
- •Сопряжённые числа
- •Представление комплексных чисел Алгебраическая форма
- •Тригонометрическая и показательная формы
- •Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел
- •История
- •10.1 Комплексные числа
- •10.1.1 Алгебраическая форма комплексных чисел
- •10.1.3 Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •10.3 Производная от функции комплексной переменной
- •10.4 Условия Коши-Римана
- •10.5 Интеграл от функции комплексной переменной
- •10.6 Интегральные формулы Коши
- •Определитель
- •[Править]Определение через разложение по первой строке
- •[Править]Определение через перестановки
- •[Править]Альтернативные методы вычисления
- •[Править]Свойства определителей
- •[Править]Алгоритмическая реализация
- •2. Деление с остатком. Теорема Безу
- •Неприводимый многочлен
- •[Править]Определение
- •[Править]Свойства
- •[Править]Примеры
- •[Править]Связанные определения
- •[Править]Примеры
- •[Править]Свойства
- •[Править]История
- •Трисекция угла
- •[Править]Построения с помощью дополнительных средств
- •[Править]Трисекция угла при помощи невсиса
Действия над комплексными числами
Сравнение
означает,
что
и
(два
комплексных числа равны между собой
тогда и только тогда, когда равны их
действительные и мнимые части).
Сложение
Вычитание
Умножение
Деление
Геометрическая модель
Геометрическое представление комплексного числа
Рассмотрим
плоскость с прямоугольной
системой координат.
Каждому комплексному числу
сопоставим
точку плоскости с координатами
(а
также радиус-вектор,
соединяющий начало координат с этой
точкой). Такая плоскость называется комплексной.
Вещественные числа на ней занимают
горизонтальную ось, мнимая единица
изображается единицей на вертикальной
оси; по этой причине горизонтальная и
вертикальная оси называются
соответственно вещественной и мнимой осями.
Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.
В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».
Геометрическая модель комплексных чисел широко используется в планиметрии: многие планиметрические теоремы можно доказать как некоторые комплексные тождества. Часто этот метод даёт наиболее простое доказательство.
Связанные определения
Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части
Пусть
—
комплексное число, где
и
— вещественные
числа.
Числа
или
и
или
называются
соответственно вещественной и мнимой (аналогично англ. real,
imaginary)
частями
.
Если
, то называется мнимым или чисто мнимым числом.
Если
, то является действительным (вещественным) числом.
Модуль и аргумент
Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).
Модуль
комплексного числа
обозначается
и
определяется выражением
.
Часто обозначается буквами
или
.
Если
является вещественным
числом,
то
совпадает
с абсолютной
величиной этого
вещественного числа.
Для
любых
имеют
место следующие свойства модуля. :
1)
,
причём
тогда
и только тогда, когда
;;
2)
(неравенство
треугольника);
3)
;
4)
.
Из
третьего свойства следует
,
где
.
Данное свойство модуля вместе с первыми
двумя свойствами вводят на множестве
комплексных чисел структуру
двумерного нормированного
пространства над
полем
.
5)
Для пары комплексных чисел
и
модуль
их разности
равен
расстоянию между соответствующими
точками комплексной плоскости.
Угол
(в
радианах) радиус-вектора точки,
соответствующей числу
,
называется аргументом числа
и
обозначается
.
Из этого определения следует, что
;
;
.
Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа аргумент определяется с точностью до
, где
— любое целое число.
Главным значением аргумента называется такое значение , что
. Часто главное значение обозначается
[4]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:
.