39. Основное уравнение мкт.

Для вывода основного уравнения МКТ рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало, по сравнению с числом удара о стенки сосуда.

Выделим на стенке сосуда элементарную площадку , и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке передаёт ей импульс: . За время площадки достигнут, только те молекулы, которые находятся в объёме цилиндра с основанием и высотой . Число этих молекул равно (n-концентрация).

Необходимо учесть, что реально молекулы движутся к площадке под разными углами, и имеют различные скорости, причём скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчётов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль 3-х взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент движения вдоль каждого из них движется молекул, причём половина молекул ( ) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина в другую. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку будет . При столкновении с площадкой эти молекулы предадут ей импульс

,

тогда давление газа на стенку равно:

Средняя квадратичная скорость:

хар-ет всю совокупность молекул газа.

С учётом этой формулы:

Это и есть основное уравнение МКТ.

Учтя, что получим:

,или

,

где Е – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул.

Т.к. , то:

Для одного моля газа m=M ( M – молярная масса):

,

где V_m- молярный объём. По уравнению Менделеева – Клапейрона pV_m=RT, т.о.:

, откуда:

т.к. , то

,

где - постоянная Больцмана.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы иг:

.

40. Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения.

По МКТ, как бы ни изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой m₀ в газе, находящимся в состоянии равновесия при Т=const, остаётся равной:

Это объясняется тем, что в газе устанавливается некоторое стационарное распределение молекул по скоростям, которое подчиняется закону Максвелла.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией , называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на равные малые интервалы , то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул , имеющих скорость, заключённую в этом интервале. Функция определяет относительное число молекул, , скорости которых лежат в интервале , т.е.:

.

Применяя методы теории вероятностей Максвелл нашёл функцию - закон для распределения молекул идеального газа по скоростям:

(*)

Из этого видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состоянии (от температуры Т).

Т.к. при возрастании множитель уменьшается быстрее, чем растёт множитель , тот функция , начиная от нуля достигает максимума при и затем асимптотически стремится к 0. Кривая не симметрична относительно .

Относительное число молекул находится, как площадь более зелёной плоскости на рисунке. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это означает, что функция удовлетворяет условию нормировки.

Наиболее вероятная скорость – скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна.

Значение наиболее вероятной скорости можно найти продифференцировав выражение (*) по аргументу , приравняв результат 0 и используя условие для максимума выражения :

Значения и 0 соответствуют минимумам выражения (*), а значение , при котором значение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость :

Из этой формулы следует, что при повышении Т максимум функции стремится вправо (значение наиболее вероятной скорости становится больше). Однако площадь, ограниченная кривой остаётся неизменной, поэтому кривая будет растягиваться и понижаться.

Средняя скорость молекулы (средняя арифметическая скорость) определяется по формуле:

,

подставляя сюда и интегрируя получим:

Скорости характеризующие состояние газа:

1) Наиболее вероятная:

2) средняя:

3) средняя квадратичная:

Исходя из распределения молекул по скоростям

Можно найти распределение молекул газа по значениям кинетической энергии .

Учтя, что получим:

,

где - число молекул, имеющих кинетическую энергию в интервале от до .

Функция распределения молекул по энергиям теплового движения

.

Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа

.