Системы координат применяемые в геодезии

Для определения положения точек в масштабе всей Земли в геодезии используют три системы координат – астрономическую, геодезическую и геоцентрическую пространственную прямоугольную систему.

Астрономические координаты - это угловые величины и определяющие положение точек земной поверхности относительно земного экватора и начального меридиана.

Рис. 2

Астрономическая широта- φ - это угол, составляемый направлением отвесной линии в данной точке с плоскостью земного экватора. Широты отсчитываются к северу и югу от экватора и соответственно называются северными и южными.

Астрономическая долгота λ - это двугранный угол между плоскостью начального меридиана и плоскостью меридиана данной точки. Долготы отсчитываются на восток и на запад от начального меридиана и называются восточными и западными. Астрономические координаты могут, определятся из астрономических наблюдений.

Координаты геодезические определяют положение точек земное поверхности на референц-эллипсоиде.

Геодезическая широта В - угол, составленный направлением нормали к референц-эллипсоиду в данной точке с плоскостью геодезического экватора.

Геодезическая долгота L - двугранный угол между плоскостью геодезического меридиана данной точки и плоскостью начального меридиана.

Геодезические координаты вычисляются по результатам наземных геодезических измерений, спроектированных на поверхность референц-эллипсоида.

При составлении планов и карт местности обычно используется левая система плоских прямоугольных координат (рис. 3).

Рис.3

В этой системе вертикальная линия, ориентируемая на север, является осью абсцисс, а горизонтальная направлением на восток - осью ординат. Нумерация четвертой здесь идёт по ходу часовой стрелки; знаки функций те же, что я в левой системе плоских прямоугольных координат. Если ось абсцисс совмещается с более выгодным направлением, то такая система координат называется условной.

Системы высот. Для определения высот точек Земли относительно некоторой отсчетной уровенной поверхности используется несколько систем высот.

Высотой (отметкой, альтитудой) точки называют расстояние, измеренное по отвесной линии от отсчетной уровенной поверхности до данной точки. Абсолютная (ортометрическая) высота H отсчитывается от поверхности геоида, относительная (условная) H – от произвольной уровенной поверхности, геодезическая – от поверхности референц-эллипсоида (рис.4).

В России за начало отсчета высот принят средний уровень Балтийского моря в районе Кронштадского футштока, и наша система высот называется Балтийской (нормальной). В ней отсчетной поверхностью служит квазигеоид – фигура, близкая к поверхности геоида. Балтийская система в пределах одного метра отличается от Адриатической системы (Австрия) и Северной (Германия). Сам уровень Балтийского моря выше уровня Черного моря на 0,7 м и, что самое любопытное, близкие друг к другу уровни Тихого и Атлантического океанов в районе Панамского канала отличаются по высоте на 0,6 м. Все это следует иметь в виду при использовании картографических материалов разных стран.

Рис.4. Системы высот

Кроме того, следует знать, что горизонтальные поверхности, перпендикулярные вектору силы тяжести, не параллельны между собой (они сжимаются у полюса) и поэтому высоты точек, лежащих на некоторой уровенной поверхности, уменьшаются по мере приближения к полюсу. Это уменьшение выражается формулой

,

где  разность широт точек, выраженная в радианной мере.

Например, воды озера Байкал, расположенные на средней широте _ср=53,5, с размахом широт 4,3 и средней высотой H=450 м на севере и юге отличаются по высоте на 0,2 м.

Превышением называется разность высот двух точек. На небольшой территории (в несколько десятков квадратных километров) величина h не зависит от принятой системы высот, получается, что

.

Понятие о равноугольной проекции Гаусса-Крюгера и общегосударственной системе плоских прямоугольных координат

Самостоятельное изучение.

Литература: Лекции по инженерной геодезии (с фрагментами методического комплекса). Учебное пособие/ В.П. Абрамов; под редакцией О.С. Разумова. – Тула, 2005. С 8–9.

Лекция 2.

Ориентирование линий. Прямая и обратная

геодезические задачи

Ориентировать линию местности – значит определять ее направление относительно некоторого другого направления, принятого за исходное. В геодезии в качестве исходного принимаются направления: 1) истинного меридиана; 2) магнитного меридиана; 3) оси абсцисс или линии, ей параллельной. В этой связи различают три вида ориентирных углов для одной и той же линии.

А строномический (истинный) азимут – горизонтальный угол А, отсчитанный в начальной точке линии по ходу часовой стрелки от северного направления истинного меридиана этой точки до заданного направления линии (рис.1.10). Угол А может принимать значения от 0 до 360.

А

Рис.1.10. Истинный азимут

зимут линии в разных ее точках меняется на угол  между направлением меридианов в этих точках. Этот угол называют сближением меридианов и, как следует из рис.1.10, А₁=А+. Истинный азимут может быть определен на местности из астрономических наблюдений или при помощи гироскопического теодолита.

Для каждой линии принято различать прямые и обратные направления. Они отличаются друг от друга на 180 и угол  сближения меридианов, то есть

. (12)

Сам угол равен , (13)

где  – разность долгот точек;  – средняя широта.

Магнитный азимут – горизонтальный угол A_m, отсчитанный в начальной точке линии от северного направления магнитного меридиана (магнитной стрелки) по направлению движения часовой стрелки до направления заданной линии. A_m может быть измерен на местности с помощью буссоли (компаса).

Д ирекционный угол  отсчитывается от положительного направления оси абсцисс или линии, ей параллельной, по ходу часовой стрелки до заданного направления (рис.1.11). Прямой и обратный дирекционные углы отличаются друг от друга на 180, то есть

. (14)

О

Рис.1.11. Прямой и обратный

дирекционные углы

риентирные углы связаны друг с другом определенными соотношениями. Так, отклонение северного конца магнитной стрелки от направления истинного меридиана называется склонением  магнитной стрелки. Эта величина зависит от состояния магнитного поля Земли, которое непостоянно во времени. В районах магнитных аномалий значение  может изменяться в значительных пределах и ориентирование по магнитному азимуту там ненадежно.

Условно принято считать восточное склонение положительным, а западное отрицательным.

На рис.1.12 показано восточное склонение +, и в общем случае связь между истинным и магнитным азимутом выражается формулой

, (15)

(в формулу (15)  входит со своим знаком).

Угол , на который отклоняется в данной точке линия, параллельная оси абсцисс, от направления истинного меридиана, называется Гауссовым сближением меридианов. Как было сказано выше, в проекции Гаусса–Крюгера за ось абсцисс принимается осевой меридиан зоны, поэтому для точки с известными географическими координатами  и  Гауссово сближение меридианов может быть вычислено по формуле

, (16)

где _N – долгота осевого меридиана зоны (10).

Т

Рис.1.12. Связь между ориентирными углами

аким образом, для точек, лежащих к востоку от осевого меридиана, сближение меридиана положительное, а западное сближение отрицательное. На осевом меридиане и экваторе =0. Связь между истинным азимутом А и дирекционным углом  выражается соотношением

(17)

(формула имеет алгебраический смысл).

Н а топографических картах под южной рамкой обычно указывается среднее значение склонения магнитной стрелки и Гауссова сближения меридианов.

Д

Рис.1.13. Румбы

ля ориентирования линий используют еще один ориентирный угол – румб (рис.1.13). Это острый горизонтальный угол r между ближайшим концом меридиана (или оси абсцисс) и направлением данной линии. Перед численным значением румба указывают его направление относительно сторон света. Связь между азимутами (дирекционными углами) и румбами показана в табл.1.1.

Таблица 1.1

Связь между румбами и дирекционными углами

Четверть	А (или )	Румб r
1	0 – 90	СВ: r1=1
2	90 – 180	ЮВ: r2=180-2
3	180 – 270	ЮЗ: r3=3-180
4	270 – 360	СЗ: r4=360-4

Прямая геодезическая задача состоит в вычислении координат точки 2 при известных координатах точки 1, расстоянию S₁₂ и дирекционному углу линии 1-2 (рис.1.14).

Из треугольника 1С2 следует:

, ,

где х₁₂ и х₁₂ – приращения координат.

Поэтому

(18)

З наки у приращений координат определяются знаками тригонометрических функций cos и sin.

Обратная геодезическая задача заключается в определении длины линии S и ее дирекционного угла  по координатам концов этой линии, то есть в задаче дано x₁, y₁, x₂, y₂. Требуется вычислить ₁₂ и S₁₂. Из треугольника 1С2 (см. рис.1.14) следует, что

Рис.1.14. Прямая геодезическая задача

, (19)

. (20)

При решении этой задачи на калькуляторе по команде arctg на табло высвечивается значение румба данной линии в градусах и долях градуса. В соответствии со знаками приращений координат (знаки cos и sin) нужно по табл.1.2 определить номер четверти, в которой проходит линия, и от румба перейти к дирекционному углу (см. табл.1.1), выразив его в градусах, минутах и секундах дуги.

Таблица 1.2

Четверть	x (cos)	y (sin)
1	+	+
2	-	+
3	-	-
4	+	-