Измерение площадей фигур

Существуют три способа измерения площадей на картах: графический, аналитический и механический.

П

Рис.1.29. Определение площади по

координатам вершин

ри графическом способе измеряемый контур разбивается на ряд геометрических фигур, с помощью поперечного масштаба измеряются их элементы и вычисляются площади, которые затем суммируются. Второй вариант графического способа предусматривает использование палетки – сетки квадратов, нанесенной на лист прозрачной бумаги. Зная площадь каждого квадрата в масштабе карты, подсчитывают число полных квадратов, покрывающих заданный контур, а из неполных на глаз составляют полные. Затем все числа складывают.

Аналитический способ предназначен для определения площадей многоугольников по координатам их вершин.

На рис.1.29 искомую площадь многоугольника P₁₂₃₄ можно представить как функцию площадей прямоугольных трапеций: P₁₂₃₄=P_1’122’+P_2’233’-P_4’433’-P_1’144’.

Основания каждой трапеции здесь равны абсциссам X точек, а высота – разностям ординат Y.

Поэтому

(27)

М

Рис.1.30. Схема планиметра

еханический способ предполагает использование специального прибора для измерения площадей – планиметра. Современный полярный планиметр состоит из двух рычагов – полюсного и обводного (рис.1.30, 1.31), которые соединяются шарнирно. На обводном рычаге расположен счетный механизм, а на конце рычага – обводной шпиль или прозрачная марка с точкой, которой обводится контур. Для измерения площади небольших фигур полюс устанавливают вне фигуры с таким расчетом, чтобы при обводе контура углы α между полюсным и обводным рычагами находились в пределах 30˚≤α≤150˚.

Для измерения площади до начала обвода марка (обводной шпиль) устанавливается на контур фигуры и снимается начальный отсчет n₁. Этот отсчет состоит из числа полных оборотов диска (снимается по циферблату), числа целых делений барабана, прошедших до нуля верньера (две цифры), и долей деления, снимаемых по совпадающему штриху нониуса (верньера).

Так, отсчет на рис.1.31 n=6458.

После обвода фигуры и возвращения в начальную точку снимается второй отсчет n₂. Площадь фигуры в делениях планиметра P=(n₂-n₁) делений. Если известна цена одного деления планиметра μ (в квадратных метрах или гектарах), то искомая площадь составит

. (28)

Для определения цены деления планиметра необходимо измерить этим прибором площадь какой-либо фигуры с известными размерами и площадью P₀ (например, один или несколько квадратов координатной сетки). Тогда

. (29)

Рис.1.31. Планиметр

В целях контроля и повышения точности площадь фигуры измеряют несколько раз.

Если измеряемый участок велик, то полюс планиметра ставят внутри фигуры. Тогда

. (30)

Для определения постоянного числа Q необходимо и достаточно измерить площадь одного и того же участка с полюсом вне фигуры и внутри фигуры. Если при этом получена разность отчетов и , то площадь P равна , откуда

, (31)

где N₁ – разность отсчетов при измерениях с полюсом вне фигуры, N₂ – разность отсчетов при измерениях с полюсом внутри фигуры.