4(21) Метрические характеристики графа

Опр Длины кратч-го из v1 в v2 – растояние между вершинами v1 и v2

Обозначение d(v1,v2)

Очевидно,что расстояние между вершинами явл-я простой цепью.d(vi,vj)=0

Опр Для любой вершины v e(v)=max d(v,u) u€V – эксцентр-т вершины

Опр Максим-й из всех эксцен-в графа – диаметр графа d(G),т.е D(G)=max e(v)v€V

Опр Мин из эксц-в вершин графа – радиус

R(G)=min e(v)

Вер v – пер-й,если её эксц-т вер равен диаметру графа.

Опр Простая цепь-расстояние междду концами которой равно диаметру графа-диаметральная цепь.

Опр Вер v – центральной,если её эксц-т равен радиусу графа,т.е e(v)=r(G)

Опр Мн-во всех центр-х вершин графа-центр

Центр графа может быть единственной верш-й или несколько вер.

Теор.Для любого связного графа G вып-я d(G) ≤rang G

Док-во Пусть d(G) =d и v1,v2,….,v d+1 – одна из диаметральных цепей

Перенумеруем вершины графа таким образом,чтобы вершины имели собственно номера 1,2…d+1

Диаметр цепь-подграф графа G штрих графа G

Согласно нумерации вершин графа G матрица смежности вершин P(G’) явл-я подматрицей матрицы смежности P(G) графа G ,расположенной на пересечении строк и столбцов

P(G)= (P(G’) А

B C)

P(G’) = (01000

10100

01000

………..

00001

00010)

G’ – простая цепь,т.е матрица симметричная порядка d+1, все элементы которой за исключением 2 ближайщихх к главной диагонали полос равны 0

Опр Ранг матрицы – наивысший из порядков её ненулевых миноров

Рассмотрим миноры порядка d матрицы P от G’ ,получ-й вычёркиванием первого столбца и последней строки

Этот минор =1(определитель соотв-й мат). Получили,что P(G’) имеет ненулевой минор порядка d,значит rang P(G’)≥d следует rang(G)= rang P(G)≥rang P(G’)≥d-d(G)

D(G)≤rangG

5(22) Понятие сети. Матрица весов.

Опр. Пусть G=(V,A) – орграф. Если каждой дуге поставить в соответствие некоторое число , то G называется графом со взвешенными дугами, или сетью. При этом вершины графа называются узлами сети. Число называется весом дуги

Опр. Весом пути μ сети G называется число где μ – путь из вершины в

Сеть может быть представлена своей матрицей весов , где – вес соответствующего ребра

Веса несуществующих ребер полагают равными нулю (или бесконечности)

Алгоритм Дейкстры. (решение задачи о нахождении кратчайшего пути)

Пусть G=(V,A) – сеть, s – вершиной начала пути, t – конец пути.

В процессе работы этого алгоритма узлами сети приписываются числа (метки) , которые служат оценкой длины (веса) от s к . Если получила на некотором шаге метку , это означает что в графе G существует путь из s в , имеющий вес . Метки могут быть временными или постоянными. Если метка становится постоянной – значит, что кратчайший путь от s до найдено. Ограничение на применение алгоритма Дейкстры: веса дуг должны быть положительными.

Алгоритм состоит из двух этапов:

1. Нахождение длины кратчайшего пути

Шаг 1: Присвоение вершинам начальных меток.

Полагаем, что , и считаем эту метку постоянной. Для остальных вершин положим , и считаем эти метки временными. Пусть

Шаг 2: Изменение меток: для каждой вершины с временной меткой, непосредственно следующей за меняем метку в соответствии с правилом:

Шаг 3: превращение метки из временной в постоянную.

Из всех вершин с временными метками выбираем вершину с наименьшим значением метки. Превращаем эту метку в постоянную:

Шаг 4: Проверка на завершение первого этапа. Если , то – длина кратчайшего пути от s к t. Иначе возвращаемся к Шагу 2.

2. Строим сам путь от s к t

Шаг 5: последовательный поиск дуг кратчайшего пути. Среди вершин, непосредственно предшествующих с постоянными метками, находим , удовлетворяющую соотношению . Если это так, что включаем в искомый путь, и полагаем, что

Шаг 6: проверка на завершение второго этапа. Если , то кратчайший путь найден. В противном случае возвращаемся на Шаг 5