21(38) Обнаружение ошибки в кодах Хемминга.

Пусть при передаче кода b^~=b₁,b₂,…,b_l произошла ошибка в разряде с номером t, т.е. на выходе канала получено слов b^~’=b’₁,b’₂,…,b’_t-1,b’_t,b’_t+1,b’_l.

Представим t в виде k-разрядного двоичного числа: t=V_k-1V_k-2…V₁V₀.

Покажем, как по коду b^~’ найти разряды V_i для числа t.

Рассмотрим t’=V’_k-1V’_k-2…V₀, где V’₀=⊕Σb’_j, j∈L₀

V’₁=⊕Σb’_j, j∈L₁

V’₂=⊕Σb’_j, j∈L_k-1

Докажем, что t’=t, т.е. V’₀=V₀…V’_k-1=V_k-1

Случаи:

1)Пусть V_i=0. Это означает, что t∉L_i={j∈L/V_i=1}

Следовательно, все разряды с номерами из множества L_i, полученные на выходе канала без искажения, т.е.

b’_j=b_j, ∀j∈L_i

Учитывая, что b₂ⁱ=⊕Σb_j, j∈L_i, j≠2ⁱ.

Получим, что V’_i=⊕Σb’_j= b₂ⁱ⊕ Σb_j

b₂ⁱ⊕ b₂ⁱ=0 ∀j∈L_i

2)Пусть V_i=1

t∈L_i={ j∈L/V_i=1}

Некоторый разряд с номером из множества L_i получен на выходе канала с искажением. Таким образом, ∃q∈L_i:b’_q=b_q=b_q⊕1 для всех j∈L_i, j≠q, b’_j=b_j

Отсюда получаем V’_i=⊕Σb’_j=(⊕b_i) ⊕1=0⊕1=1=V_i

Пусть в рассмотренном примере ошибка при передаче кодового слова b^~=b₁b₂…b₁₃=1010011010111 в 11 разряде, т.е. t=11. На выходе канала получено сообщение b’=b’₁…b’₁₃=1010011010011. Для этого кодового сообщения получаем

V’₀=b’₁⊕b’₃⊕b’₅⊕b’₇⊕b’₉⊕b’₁₁⊕b’₁₃=1⊕1⊕0⊕1⊕0⊕1=1

V’₁= b’₂⊕b’₃⊕b’₆⊕b’₇⊕b’₁₀⊕b’₁₁=1

V’₂= b’₄⊕b’₅⊕b’₆⊕b’₇⊕b’₁₂⊕b’₁₃=0

V’₃= b’₈⊕b’₉⊕b’₁₀⊕b’₁₁⊕b’₁₂⊕b’₁₃=1

Таким образом, двоичное представление номера разряда, в котором произошла ошибка, есть t=V₃V₂V₁V₀=1011. Но это не что иное, как двоичное представление числа 11₁₀.

Вывод: ошибочный разряд ошибочный.

Декодирование, получение исходного сообщения.

Этот шаг осуществляется следующим образом: после исправления ошибки нужно выписать информационные символы.

a^~=a₁a₂…a_m=b₃b₅b₆b₇b₉b₁₀b₁₁b₁₂b₁₃. В нашем примере b^~=b₁…b₁₃=1010011010111, выписываем a^~=101110111. Это и есть исходное сообщение.