14(31) Потоки минимальной стоимости.

Рассмотрим задачу находящую потока заданного величиной Q от skt в g=(v,e,ῼ,D) в которой каждая дуга характеризующая простую стоимость С∊ῼ и не отри-й стоимостью d ∊D пересылки единичного потока из в вдоль дуги если θ> где волна макс потока в сети g от skt, то решения нет, если θ<= то мажет быть определено несколько различных потоков в вел-ы θ от skt. Математическая модель заданная следующим образом: Нужно минимизировать , ,где - Это поток по дуге при ограничениях:

ограничение: ∀∊Е , 0<=Φ<=C
для наг вер-а S∊V; это уравнение истока.
Для конечной вершины t∊V Уравнение Стока.
∀ уравнение Балажа(Условие сохранения потока)

Если - кратчайший путь от skt в сети g=(v,E,D);Cmin() min из пропускной способности дуг входящих в этот путь (кратчайший путь).θ<Cmin()- то задача имеет тривиальное решение . Весь поток θ направляемый вдоль пути Общее решение задачи строиться следующим образом. Сначала находиться кратчайший путь от skt и величина max возможного потока вдоль этого пути. Если окажется что θ<=то задача решена. В Противном случае сеть модернизируют специальным образом. Затем опять находим кратчайший путь от skt и Макс Возможных потоков Вдоль этого Пути в Модернизированной сети. Процедуры модернизации сети и нахождения кратчайшего пути в ней повторяются до тех пор пока Либо Нужное кол-о θ Будет перенаправлена, либо возьмёт сеть в которой нет пути от skt Что означает отсутствие решения у исходной задачи. Модернизация сети дополняется только определённым порядком: Пусть g=(v,E,ῼ,D) исходная сеть v-множество вершин: Е-множество рёбер: ῼ множество весов (пропускной способности дуг): D набор стоимости единичного потока из в по дуге . Модернизация относительно данного потока сеть строиться следующим образом:

1)=V т.е число и набор вершин в мод-й сети не изменяется.

2)где F некоторое множество фиксированных дуг. Т. О после модернизации число дуг сети увеличиваться.

3) Если дуга и ϕ>0 то дуга фикс Дуга. Включая множество F При этом следует что =ϕ этот пункт применим только к дугам по которым проходит поток ϕ относительно которого происходит модернизация сети.

4) Для всех ненасыщенных дуг где нет противоположного потока в том числе и для некоторых дуг с потоком относительно которого происходит мод-я сети т.е (31) ϕ<cϕ, то получим что

5)Для всех насыщенных дуг Е, ϕ получиться что ,

Пример: Пусть матрицами ῼ и D заданы произведение спос-и дуг сети стоимости транспортной единице потока вдоль всех дуг. Требования :1) построить макс поток Skt пути разложить отдельно-й S oт t.Построить поток величины θ=[3/4ϕmax] имеющих минимальную стоимость.(матрица в круглых скобках )