2. F(X,y), непрерывны в д, тогда для всякого (х0,у0)

х существует решение у=у(х), такое что у(х₀)=у₀

б) Если решениям ДУ-1 у=у₁(х) и у=у₂(х) совпадают в одной точке, то они тождественны.

Решение уравнения с разделяющимися переменными

уʹ=f(x)*g(y)

= f(x)*g(y) |*

= f(x)*g(y)* |/g(y)≠0

= f(x)*

= - общее решение

Понятие однородной функции n-ого измерения однородные ДУ-1, их решение

f(x,y)- однородная измерения m, если f(tx, ty)=t^m*f(x, y)

Метод решения однородного ДУ-1:

f(x, y)=f(tx, ty)

уʹ= f(x, y)=f(tx, ty) => уʹ= f(tx, ty)

Пусть t=

уʹ= f( *x, *y)=f(1, )

уʹ= f(1, ) =>однородное ДУ-1 можно сделать зависимым только от отношения ( ) (5)

=u(x)

y=u(x)*x

уʹ= = *x+u (6)

(6) в (5): *x+u= f(1, u) – ДУ-1 с разделяющимися переменными.

Вывод: однородные ДУ-1 подстановкой =u(x) сводятся к уравнению с разделяющимися переменными.

Линейные ДУ-1: определение, отыскание общего решения методом Бернулли.

Если q(x) 0 для всякого х Д, то уʹ+p(x)*y=0- однородное линейное ДУ-1.

Если q(x) , то уʹ+p(x)*y= q(x)- неоднородное линейное ДУ-1.

общего решения методом Бернулли

у=u(x)*v(x) (10)

= *v+u*

*v+u* +p(x)*u*v= q(x)

1. =- p(x)*v |*

v= (11)

Подставим v в б:

* =q(x) |*

(12)

Ответ: (11), (12) в (10)

ДУ-1 Бернулли: определение, отыскание общего решения

уʹ+p(x)*y= q(x)*у^m|/ у^m≠0

m≠0

+ p(x)* = q(x)

= z

= => => + p(x)*z = q(x) –НЛДУ-1

Замечание: у=u*v – подстановка.

11. Дифференциальные уравнения высшего порядка: основные понятия и определения. Три типа ду высшего порядка, допускающие понижение порядка.

Основные понятия и определения.

1⁰ ДУ- уравнение связывающее независимую переменную х с искомой функцией y(x) и её производными

.

(1)

(1)

(2)

(1) – ДУ – неразрешённое относительно старшей производной

(2) – ДУ – разрешённое относительно старшей производной y⁽ⁿ⁾ (в нормальном виде)

2⁰ Порядок старшей производной называется порядком ДУ

3⁰ y=y(x), то ДУ называется обыкновенным

4⁰ y=y(x, t, ω)

- уравнение в частных производных

5⁰ y=y(x) – решение, если при подстановке ДУ получится тождество

6⁰ y=y(x, C₁, C₂,…, C_n), где C₁, C₂,…, C_n – общее решение ДУ-n

7⁰ y=y(x), x=x(y) удовлетворяющие данному ДУ, но не входящие в общее решение, называются особым решением

8⁰ Если в общем решении y=y(x, C₁, C₂,…, C_n) произвольные постоянные – конкретные значения C₁=C⁰₁, C₂=C⁰₂,…, C_n=C⁰_n, то имеем частное решение ДУ

9⁰ Отыскание решений ДУ называется интегрированием ДУ

«решить ДУ», «проинтегрировать ДУ» - синонимы

10⁰ Если решение ДУ записано через интеграл, то говорят, что решение найдено в квадратурах, даже, если эти интегралы не выражены в элементарных функциях

Ф(x, y, C₁, C₂,…, C_n)=0 – общий интеграл

y=y(x, C₁, C₂,…, C_n) – общее решение

ДУ-n, допускающие понижение порядка

1⁰ y⁽ⁿ⁾=f(x)

- ДУ-1 относительно y^(n-1), с разделяющимися переменными

d(y^(n-1))=f(x)dx

∫d(y^(n-1))=∫f(x)dx+C

y^(n-1)=∫f(x)dx+C

снова понижаем порядок

- ДУ-1 с разделяющимися переменными

∫d(y^(n-2))=∫(∫f(x)dx+C₁)dx+C₂

y^(n-2)=∫(∫f(x)dx)dx+xC₁+C₂

и т.д.

2⁰ F(x, y^(k), y^(k+1),…, y⁽ⁿ⁾)=0 (1)

Нет явно k=1,2,…,n

k=n случай 1⁰ y⁽ⁿ⁾=f(x)

(2)

,…, (3)

(2) и (3) в (1):

ДУ-(n-k) (4)

Замечание: вопрос о решении (4) остался открытым; хорошо, если оно сводится к известным ДУ.

3⁰ (5)

Нет явно «х»

Можно понизить порядок на единицу

(6)

= =

(7)

(8)

(9)

(6)-(9) в (5):

(10)

Решение (10)

P=f(y,C₁,C₂,…,C_n-1) – общее решение (10)

=f(y,C₁,C₂,…,C_n-1) – ДУ-1с разделяющимися переменными

- общий интеграл ДУ (5)

12)Линейные ДУ высшего порядка(ДУ-n): однородные, неоднородные. Однородные ДУ-n: доказать теоремы о свойствах решений, понятие фундаментальной системы ЛОДУ-n. Доказать теорему о структуре общего решения ЛОДУ-n.

(1)

Если при всех рассматриваемых значениях x ф-я то уравнение (1) наз-ся линейным однородным, в противном сл-е он наз-ся лин-но неоднородным.

Введем оператор: (2)

С помощью оператора (2) ур-е (1) примет вид:

ЛОДУ-(n) Свойства решений

Т₁ Если - решения, то - тоже решения

Д-во:

Тогда:

Т₂ Если - решение, то -тоже решение, где

Д-во: , тогда

Понятие ФС ЛОДУ-(n)

Т опред. на были лин-но незав-мы, необходимо и достаточно чтобы Вронскиан хотя бы в одной точке на

Т Если Вронскиан в точке , то он не равен о ни в одной точке

О n - лин-но незав-х решений ЛОДУ-(n) наз-ся фундаментальной системой решений (ФСР)

Т о структуре общего решения ОЛДУ-(n)

Если – ФСР ОЛДУ-(n)

, то общ. Решение ОЛДУ-(n) имеет вид:

, (2)

Д-во: имеем

А) Тогда

Б) Покажем, что задача Коши имеет единственное решение:

(3)

(2) в (3): (4)

(4) – система лин-х неодн-х алгебр-х ур-й. Она имеет единственное решение, если опред-ль системы не равен 0.

Значит (4) – единственное решение

Подставляя найденное значение в (2) получаем решение задачи коши. Теор. Доказана