2) «101» Числовой ряд.

_Пусть дана послед-сть чисел u₁, u₂,u₃,…,u_n,… , где u_n =f(n), - бесконечная числовая послед-сть. Выражение u₁+ u₂ + u₃+...+ u_n +... наз-ся бесконечным числовым рядом, а числа u₁, u₂,u₃,…,u_n…членами ряда; u_{n=f(n) – общим членом. Ряд часто записывают в виде}

«104» Признаки сходимости д^, Аламбера и Коши

Пусть в положит. ряде u₁, u₂,u₃,…,u_n,… отношение последующего члена к предыдущему при n имеет предел q. Возможны три случая: 1)q<1 тогда ряд сходится. 2)q>1 тогда ряд расходится. 3)q=1,тогда ряд может сходиться, а может и расходиться (признак Даламбера).

_{Если для ряда} u₁, u₂,u₃,…,u_n,… существует , то этот ряд сходится при С<1 и расходится при С>1. (признак Коши)

3) «59» Производная сложной функции. Производная обратной функции

Производная сложной функции. y’=f’(x)x’(t)

Обычно    называют внешней функцией, а - внутренней. При вычислении производной сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции.

Производная обратной функции. .

«62» Производные высших порядков

Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка.

Обозначение производной f’’(x)-второго порядка, f’’’(x) – третьего порядка.

Для обозначения производных более высокого порядка используют арабские цифры в скобках или римские цифры, например f⁽⁴⁾(x),…. f⁽ⁿ⁾(x) или f^IV(x) и т.д ∆y=f(x+∆x)-f(x)

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в данной точке, когда x получает приращение ∆х

Геометрический смысл 2й производной: она является ускорением

Билет №4

1. «27» Прямая, как линия первого порядка. Общее уравнение прямой.

2. «66» Основные теоремы о дифференцируемых функциях: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

3. «89» Методы приближенных вычислений определенного интеграла: формула прямоугольников, формула трапеций, формула Симпсона.

4. Представить комплексное число в тригонометрической форме

1)«27» Прямая, как линия первого порядка. Общее уравнение прямой.

Уравнение ax + bу + c = 0 – уравнение первого порядка, если хотя бы один из коэффициентов a и b не равен нулю. ax + bу + c = 0 – общее уравнение прямой.

2) «66» Основные теоремы о дифференцируемых функциях: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке Х функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке х₀ этого промежутка, то производная функции, то производная функции в этой точке = 0, т.е. f’(x₀)=0

Геометрический смысл: в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка Х, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Ролля. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет условиям: непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), на концах отрезков принимает равные значения, т.е. f(a)=f(b). Тогда внутри отрезка по крайней мере существует хотя бы одна такая точка ξ принадлежит (a;b), в которой производная функции =0, т.е. f”(ξ)=0

Геометрический смысл: найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс, в этой точке производная и будет равна 0.

Теорема Лагранджа. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет условиям: непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ξ принадлежащая (a;b), в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е.

Следствие: если производная функции y=f(x) равна 0 на некотором промежутке Х, то функция тождественно постоянна на этом промежутке.

Теорема Коши. Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢(x) ¹ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e.

«89» Методы приближенных вычислений определенного интеграла: формула прямоугольников, формула трапеций, формула Симпсона

Суть приближенного вычисления определенных интегралов.

Так как в геометрическом смысле значение определенного интеграла есть площадь подграфика подынтегральной функции, то приближенное вычисление сводится к приближенному представлению площади подграфика в виде набора прямоугольников (в методе прямоугольников), трапеций (в методе трапеций) или ограниченных сверху параболами сегментов (в методе Симпсона).

М прямоугольников. М трапеций. М парабол (метод Симпсона).

Алгоритм действий.

1. Сначала разбиваем отрезок [a;b] интегрирования на n частей ( 2n частей для метода Симпсона или метода средних прямоугольников). Это делается по формуле для методов левых, правых прямоугольников и трапеций и по формуле *k, k=0,1,…,2n- для метода средних прямоугольников и метода Симпсона.

2. Вычисляем значения подынтегральной функции в нужных точках . f(x_k)

3. Используем соответствующую формулу.

   • Для метода левых прямоугольников .

   • Для метода средних прямоугольников .

   • Для метода правых прямоугольников .

   • Для метода трапеций

   • . Для метода парабол (Симпсона) .

Билет №5

1. «15» Решение системы линейных уравнений АХ=В в матричной форме.

«17» Теорема Крамера.

2. «84» Определенный интеграл: определение, свойства, геометрический смысл.

3. «102» Сумма ряда, необходимый признак сходимости.

4. Решить дифференциальное уравнение

1) «15» Решение системы линейных уравнений АХ=В в матричной форме.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x1 , x2 , ..., xn:

Эта система в "свернутом" виде может быть записана так: S ni=1aij xj = bi , i=1,2, ..., n.

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричной форме Ax=b, где

, , .

Матрица A, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы. Матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец x, элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы.

Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b, является матричным уравнением.

Если матрица системы невырождена, то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы Ax=b дается формулой:

x=A -1 b.

Справедливо следующее утверждение (формулы Крамера).

Если определитель D=det A матрицы системы Ax=b отличен от нуля, то система имеет единственное решение x1 , x2 , ..., xn, определяемое формулами Крамера

xi =Di / D, i=1,2, ..., n,

где Di - определитель матрицы n -го порядка, полученной из матрицы A системы заменой i -го столбца столбцом правых частей b

«17» Теорема Крамера

Если в системе линейных уравнений |A| 0, то имеется единственное решение, которое находим по формулам: x_i= , i=1,2,3, где _i- того столбца на столбец свободных членов.

Решение по этим формулам называется решением по правилу Крамера, или в матричной форме: Х=А^-1*В.

2) «84» Определенный интеграл: определение, свойства, геометрический смысл

Определение: Пусть дана функция , которая определена на отрезке. Если существует предел, не зависящий отспособа разбиения отрезка и выбора точек, то такой предел называется определенным интегралом функции.

Геометрический смысл: Определённый интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) (см. рис. 5.).

Свойства: 1. ; 2. ; 3. ; 4 ; 5. ;

6. ; 7. Если y=f(x) – четная функция, то ; Если y=f(x) – нечетная, то