1) Основные свойства предела функции

Свойства предела функции

1.Предел линейной комбинации

и вообще ,.

2. Предел произведения .

3.Предел частного , если пределы существуют и  .

2) Приложения определенного интеграла (нахождение объема тела вращения, длины дуги, площади поверхности тела вращения в декартовой и полярной системах координат) Вычисление объема тела вращения

Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, образованную прямыми х=а, х=b , осью и функцией y=f(x) .

Требуется найти объем тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси .

Объем данного тела вычисляется по формуле, содержащей определенный интеграл:

Если криволинейная трапеция прилежит к оси Oy (прямые y=c, y=d, ось Oy и функция x=F(y) ), тогда объем тела также определяется по формуле, содержащей интеграл:

Длина дуги кривой

Пусть задана кривая

Тогда длина ее участка, ограниченного значениями t=α и t=β выражается формулой

Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси Ox дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания кривой)

( - длина окружности кольца, - его ширина).

Пример: найти площадь тора, образующегося при вращении окружности r=sinφ вокруг оси Ox.

Решение:

3)Степенные ряды

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x₀), то есть ряд вида

где x₀ − действительное число.

Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.

Если интервал сходимости представляется в виде (x0-R,x0+R) , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно. Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

Билет № 18

1. «75» Исследование функций с помощью первой и второй производных. Построение графиков функций по характерным точкам

2. «92» Функция нескольких переменных, ее геометрическая интерпретация

3. «118» Общее решение линейного неоднородного уравнения высшего порядка

4. Найти произведение матрица, определитель

1) Исследование функций с помощью первой и второй производных. Построение графиков функций по характерным точкам.

При исследовании и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти область определения функции

2. Исследовать функцию на четность-нечетность

3. Найти вертикальные асимптоты

4.Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции

Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба

7. Найти точки пересечения с осями координат и возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Нахождение экстремумов и интервалов монотонности функции осуществляются при помощи первой производной f’(x).

Нахождение интервалов выпуклости функции и точек перегиба осуществляется при помощи второй производной f”(x)

2) «92»Функция нескольких переменных, ее геометрическая интерпретация

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области  ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y). z=f(x,y)

Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность.

Частное и полное приращение функции.

Полное приращение функции z=f(x+x, y+y)f(x,y)

Частное приращение функции _x z=f(x+x)f(x,y) _y z=f(x,y+y)f(x,y)