3) «105» Интегральный признак сходимости

Если f(x) при x≥1 - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд , где u_{n= f(n), сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл}

Билет№15

1. «41» Уравнение прямой в пространстве

«42» Каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве

2. «45» Понятие предела функции в точке (по Коши)

«47» Достаточное условие существования предела функции

3. «125» Формула полной вероятности

«126» Формула Байеса

1) Уравнения прямой в пространстве.

Т ак как каждая прямая всегда может быть помещена в некоторую плоскость и при пересечении двух плоскостей образуется прямая, то в аналитической геометрии прямую в пространстве принято задавать как пересечение двух плоскостей. Итак, пусть и – уравнения любых двух различных плоскостей, содержащих прямую . Тогда координаты любой точки прямой удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы

Систему называют общими уравнениями прямой в пространстве. Так как через любую прямую в пространстве проходит множество плоскостей, то любую прямую можно задать ее общими уравнениями и не единственным образом.

Каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве.

Уравнение и систему уравнений называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в векторной и координатной форме соответственно). Если в задаче 1 вектор не параллелен ни одной из координатных плоскостей (т.е. если , и ), то из уравнений системы можно выразить параметр :

, ,

и заменить систему одним равенством вида:

где – координаты некоторой точки на прямой; , , – координаты направляющего вектора прямой.

Уравнения называют каноническими уравнениями прямой в пространстве.

2) «45» Понятие предела функции в точке (по Коши Критерий Коши)

Предел функции f(x) в точке a существует тогда и только тогда, если для каждого ε > 0 найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что |f(x’) – f(x’’)| < ε, Как только 0<|x’ - a|<δ и 0<|x’’ - a|<δ, где x’ и x’’ – любые точки из области определения функции f(x).

«47» Достаточное условие существования предела функции

Пусть функция f(x)определена на множестве X = {x}, имеющем точку сгущения (предельную точку) a. Запись

обозначает, что для любого числа ε > 0 cуществует число δ = δ (ε) > 0 такое, что для всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0 < |x - a| < δ, справедливо неравенство:

|f(x )- A |< ε.

3) Если событие А может наступить только при появлении одного из несовместных событий (гипотез) Н1, Н2,…,Нn, то вероятность события вычисляется по формуле полной вероятности: Р(А)=Р(Н1)Р(А/Н1)+Р(Н2)Р(А/Н2)+…+Р(Нn)H(A/Нn) где Р(Н_i) - вероятность гипотезы , - условная вероятность события А при выполнении гипотезы. Если до опыта вероятности гипотез были Р(Н₁), Р(Н2),Р(Н3), а в результате опыта появилось событие А , то с учетом этого события "новые", т.е. условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса (k=1,2,…n), где

Билет №16

1. «51» Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых функций

2. «89» Методы приближенных вычислений определенного интеграла: формула прямоугольников, формула трапеций, формула Симпсона

3. «91» Частные производные 1-го порядка, их геометрический смысл