50Нормальные случайные величины

Рассмотрим случай непрерывной случайной величины, способной принимать любые значения из некоторого интервала (а, Ъ). Нормаль­ной (или гауссовской) случайной величиной называется случайная величина X, определенная на всей оси (-∞, +∞) и имеющая плотность распределения

P(x)=

где х₀ и а > 0 — числовые параметры (не случайные величины); х₀ — истинное значение случайной величины X; о² — ее диспер­сия (рис. 18). Множество значений X может быть любым, однако должны выполняться два условия:

1) плотность р(х) положительна;

2) интеграл от плотности по интервалу (-∞, +∞) равен 1:

∫ p(x)dx = l.

Р ис. 18. Две нормальные плотности вероятности, соответствующие х_д = 0, σ= 1 и х₀ = 0, σ = 0,5

При этом вероятность того, чтоХокажется в интервале (а, b), равна:

Параметр х₀ не влияет на форму кривой р(х), изменение его при­водит лишь к сдвигу кривой вдоль оси x, однако при изменении σ форма кривой меняется. можно видеть, что

Если уменьшить σ, то max р(x) будет возрастать, но площадь под кри­вой остается равной 1. Поэтому кривая будет сужаться в окрестнос­ти х = x_Q. На рис две нормальные плотности с параметрами x₀ = 0, σ = 1 и х₀ = 0, σ = 0,5. каковы бы ни были х₀ и σ, действительны соотношения:

Р[(х_о- σ)<Х<(х_о+ σ)]= = 0,683,

Р[(х₀-2 σ)<Х<(х₀+2 σ)]= = 0,954,

Р[(х_о-З σ)<Х<(х_о+З σ)]= = 0,997.

Эти соотношения дают вероятность найти значения переменной X в пределах, заданных определенными значениями σ.

Центральная теорема теории вероятности говорит, что при до­статочно большом числе нормально распределенных случайных ве­личин их сумма также распределена нормально. Поэтому измеряе­мые физические величины распределены по нормальному закону, так как являются результатом суммарного действия независимых случайных факторов: колебаний давления, температуры, показаний измерительного прибора, условий снятия показаний измерительно­го прибора и т.д.

45Атомно-силовой микроскоп

АСМ основан на зависимости энергии взаим-вия зонд — образец U от расстояния между ними r. зависимость имеет степенной вид и первом при­ближении дается соотношением (потенциал Леннарада —Джонса):

U(r) = U₀[-2(r₀/r)⁶ + (r₀/r)¹²].

Первый член описывает энергию дальнодействующего притяже­ния, обусловленную, диполь-дипольным взаим-вием атомов. Второе слагаемое учитывает энергию отталкивания меж­ду электронами зонда и образца на малых расстояниях. U₀-— значение энергии в минимуме на равновесном расстоянии между атомами r₀ В АСМ конт­ролируется сила взаим-вия м/у микроострием и поверхностью. ACM представляет собой конструкцию сверхчувствительного измерителя профиля поверхности. В качестве зонда АСМ используют упругую пластинку (кантилевер) 2, на ее конце литографией делают острие 1 из твердого материала (нит­рида кремния, кремния). При перемещении зонда 3 регистрируется изгиб кантилевера. Уп­ругую деформацию кантилевера регистрирует оптическая система (лазер и четырехсекционный фотодиод) 5. Чтобы из­мерить отклонение кантилевера, лазерный пучок фокусируют на конце кантилевера 4 и луч направляют в фотодетектор. обратную сторону кантилевера покрывают тонкой золотой пленкой для лучшего отражения. Пьезосканер 6 обеспечивает перемещение образца в трех направлени­ях. зонд при сканировании остается неподвижным, а образец — перемещается. Есть версии где верти­кальные перемещения регистрируются зондом СТМ 7 (рис. 17, б). АСМ может работать в контактном и бесконтактном режимах. В первом случае работы АСМ подвод зонда к поверхности осуще­ствляется на небольшие расстояния, когда преобладают силы оттал­кивания (второе слагаемое в уравнении Леннарда — Джонса). При этом острие зонда фактически контактирует с поверхностью, и из­менения высоты зонда в ходе сканирования непосредственно опи­сывают исследуемый профиль. Информация от пьезосканера и фо­тодиода поступает в компьютер, который представляет результат измерений в цифровом виде.

Информацию о поверхности образца можно регистрировать в трех видах: высота (Height), отклонение (Deflection), трение (Friction). Высота — высота образца (перемещение по оси Z пьезосканера). В этом режиме записи содержится информация о рельефе поверхнос­ти. В режиме отклонения лучше видны микроскопические детали поверхности, так как этот режим записи соответствует ошибке в си­стеме обратной связи, поддерживающей постоянной деформацию кантилевера. Трение — тангенциальная составляющая деформации кантилевера.

Поверхность образца представляется «топографической картой», где чаще всего светлые участки на изображении соответству­ют большим значениям высоты и отклонения.

В бесконтактном режиме силы притяжения (первое слагаемое в уравнении Леннарда — Джонса) больше сил отталкивания. При ска­нировании зонду 1 навязываются механические колебания с часто­той, близкой к резонансной частоте кантилевера 2, и регистрирует­ся изменение частоты колебаний, вызванных притяжением зонда к поверхности. Это изменение частоты связано линейно с изменением силы притяжения, поэтому разностный частотный отклик в разных точках поверхности зависит от локального расстояния зонд — обра­зец и позволяет построить изображение профиля поверхности. нашли широ­кое применение при исследовании материалов с пониженной повер­хностной жесткостью — полимерных материалов и биополимеров.

АСМ позволяет измерять не только профиль поверхности , но и локальные силы трения, величину адгезии, упругие и вязкие свойства поверхности с субнанометровым пространственным разрешением.