31. Вырождение плана и его преодоление при решении транспортной методом потенциалов

33. Признаки оптимальности плана транспортной задачи при решении методом потенциалов

Циклом в транспортной таблице называется несколько клеток, соединенных замкнутой ломаной линией, которая в каждой клетке совершает поворот на 90 , Знаком " + " отмечают те вершины, в которых перевозки увеличиваются, а знаком "- " - те вершины, в которых перевозки уменьшаются. Перемещение какого-то кол-ва единиц груза по циклу означает увеличение перевозок на это кол-о единиц в положит вершинах и уменьшение перевозок на это же количество единиц в отрицат вершинах. При этом, если перевозки остаются неотрицат, план остается допустимым. Стоимость плана при этом может меняться.

Ценой цикла называется увеличение стоимости перевозок при перемещении единицы груза по этому циклу. Очевидно, цена цикла равна алгебраической сумме стоимостей, стоящих в вершинах цикла, при этом стоимости в положит вершинах берутся со знаком " +", а стоимости в отрицат вершинах берутся со знаком " - ".

Идея метода потенциалов состоит в следующем. Для любой свободной клетки транспортной таблицы всегда существует единственный цикл, положит вершина которого лежит в этой свободной клетке, а все остальные - в базисных. Если цена такого цикла отрицат, то план можно улучшить перемещением перевозок по данному циклу. Количество единиц груза, которое можно переместить, определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицат вершинах цикла (если переместить большее число единиц груза, возникнут отриц перевозки). Если циклов с отриц ценой нет, то это означает, что дальнейшее улучшение плана невозможно, т.е. оптимальный план найден.

Для нахождения циклов с отрицательной ценой вводится система платежей (альфа)i , i = 1,m; βj, j = 1,n и определяются величины Ćij (cо штрихом) = (альфа)i + βj, называемые "псевдостоимостями" перевозок единицы груза из пункта i в пункт j. При этом цена цикла пересчета для каждой свободной клетки равна Cij – Cij (со штрихом), если платежи определять из условий (альфа)i + βj = Cij для всех базисных клеток (i, j).

32. Этапы решения транспортной задачи методом потенциалов

Шаг 1. Строим опорный план (методом северо-западного угла) с n + m - 1 базисными клетками.

Шаг 2. Определяем платежи (альфа)i , i = 1,m; βj, j = 1,n из условий (альфа)i + βj = Cij для всех базисных клеток. Один из платежей (например a1 ) полагаем равньм нулю.

Шаг 3. Считаем псевдостоимости Ćij (cо штрихом) = (альфа)i + βj для всех свободных клеток. Если Cij ≥ Cij (со штрихом) для всех клеток, то план оптимален. Вычисляем значение целевой функции L на этом плане и исследования прекращаем. Шаг 4. Если есть свободная клетка, для которой Cij < Cij (со штрихом), то улучшаем план, перебрасывая перевозки по циклу этой свободной клетки.

Шаг 5. Возвращаемся к шагу 2 для пересчета платежей нового опорного плана.

34. Расчет опорного (базисного) плана транспортной задачи методом «северо-западного угла».

Дадим переменной _х11 максимально возможное значение или, иными словами, максимально возможную поставку в клетку (1,1) — "северо-западный" угол таблицы поставок: х₁₁ = min {60, 20} = 20. После этого спрос 1-го потребителя будет полностью удовлетворен, в результате чего 1 столбец табли­цы поставок выпадет из последующего рассмотрения (заполнен­ные клетки будем перечеркивать сплошной линией (см. табл. 7.2) клетки, выпавшие из последующего рассмотрения, перечеркнуты пунктирной линией. В таблице поставок найдем новый "северо западный" угол — клетку (1,2) и дадим в нее максимально воз­можное значение. Учитывая, что 1-й поставщик уже отдал 20 единиц груза и у него осталось только 40 = 60—20 единиц груза, получаем, что х₁₂ = min {40, 110} = 40. После этого мощность 1-го поставщика полностью реализована и из рассмотрения выпадет первая строка таблицы поставок (перечеркиваем сплошной лини­ей клетку (1,2) и пунктирной линией оставшиеся свободные клет­ки 1 строки). В оставшейся таблице снова находим "северо западный угол" и т. д. В результате получаем следующее исходное распределение поставок (см. табл.7.2).

Число заполненных клеток в полученном распределении оказалось равным m+n— -1 = 3+4-1 =6, т.е. числу основных (ба­зисных) переменных. Это, конечно, не слу­чайно. Действитель­но, на каждом шаге (кроме последнего) данного метода из рассмотрения выпадали либо строка, либо столбец, а на послед­нем шаге и столбец, и строка. Поэтому число заполненных кле­ток (число шагов) на единицу меньше, чем сумма числа строк и столбцов таблицы поставок, т.е. равно т+п—1. Оказывается (см. теорему 7.2), что эта особенность шагов метода "северо­ западного" угла служит причиной того, что полученное рас­пределение является базисным.

Существенный недостаток метода "северо-западного" угла состо­ит в том, что он построен без учета значений коэффициентов затрат задачи