47. Нахождение равновесных стратегий в биматричной игре. Равновесные ситуации.

Ситуация  (i*, j*), в которой выполняются неравенства

  ,     i = 1,2;           ,   j = 1,2,

называется равновесной.

          В равновесной ситуации игроки добиваются наибольших выигрышей стратегиями   i = i*, j = j*. Их называют равновесными стратегиями, а соответствующие элементы  ,   матриц выигрышей – равновесными выигрышами игроков.

        При  B = - A, т.е.

  ,      i, j = 1,2,

биматричная игра превращается в матричную игру. В этом случае из определения равновесных стратегий вытекает

  ,      i, j = 1,2.

Отсюда

,

что означает оптимальность стратегий  i*, j*  в матричной игре (см. п. 5.2) с матрицей выигрыша  А. Следовательно, определение равновесных стратегий включает в себя понятие оптимальных стратегий матричной игры.

        Равновесные выигрыши одновременно максимальны в столбце матрицы  А  и строке матрицы  B  соответственно. Это свойство можно использовать как рабочее правило для нахождения равновесных ситуаций.

         Применим правило к матрицам выигрышей (6.1). Подставив в (6.1) численные значения элементов (6.2), получим

  .

          Ситуация (1,1) равновесная, поскольку для первого столбца матрицы  А  и первой строки матрицы   В  имеем

 2 = а₁₁  ≥  а₂₁ = 1,   0 = b₁₁  ≥  b₁₂ = - 2.

Ситуация (2, 2) тоже равновесная: 0 ≥ - 1  и  -1 ≥ -3. Ситуации (1,2) и (2,1) не равновесные. Равновесные выигрыши игроков (2 и 0) в первой равновесной ситуации превосходят аналогичные выигрыши (0 и –1) во второй, поэтому первая ситуация предпочтительней для игроков. Содержательно в равновесных ситуациях воплощается «закон кармы»: за хорошую подготовку к зачету Студент получает зачет, а за плохую подготовку по справедливости не получает. Моральное удовлетворение Студента и Преподавателя в первой ситуации выше, чем во второй.

48. Смешанные стратегии в биматричной игре. Свойства смешанных стратегий.

Рассмотрим, например, игру «семейный спор» с матрицами выигрыша

  .                                         (6.3)

Ее можно интерпретировать как выбор супругами совместного вечернего развлечения: спортивного соревнования, в котором заинтересован супруг (первый игрок), или балета, которому в равной степени отдает предпочтение супруга (второй игрок). В случае разногласия (выбора разных стратегий) нулевые выигрыши означают безнадежно испорченный вечер.

         Легко видеть, что в игре «семейный спор» нет равновесных ситуаций и, следовательно, нет предпочтительных стратегий, как было в игре о «зачете».

        Построим по аналогии с п. 5.3 смешанное расширение  Г_А,В   этой игры. Определим множества смешанных стратегий

Х = {х= (х₁, х₂):   х₁ + х₂ = 1,  х₁ ≥ 0,    х₂ ≥  0 },

Y = { y = (y₁, y₂):   y₁ + y₂ = 1,  y₁ ≥ 0,    y₂ ≥  0 }

и функции выигрыша

Н₁(х, у) = 2х₁у₁+ х₂у₂,                                       (6.4)

Н₂(х, у) = х₁у₁ + 2х₂у₂.                                       (6.5)

           В модельном представлении в игре  Г_А,В   игроки независимо выбирают смешанные стратегии  х, у  из множеств  Х, Y . Когда выбор стратегий сделан и в игре сложилась  ситуация  (х, у), определяются выигрыши  Н₁(х, у)  и  Н₂(х, у)  первого и второго игрока. Целью каждого игрока является максимизация индивидуального выигрыша путем выбора стратегии из своего множества стратегий.

        Составляющие игры  Г_А,В   имеют такой же содержательный смысл, как в матричной игре:

        х₁ и х₂ – вероятности (частоты) выбора чистых стратегий  i = 1  и  i = 2,

        у₁ и у₂  – вероятности (частоты) выбора чистых стратегий  j = 1  и  j = 2,

        Н₁(х, у) и Н₂(х, у)  – математические ожидания выигрыша («средние» выигрыши) первого и второго игрока в ситуации  (х, у).

        Назовем ситуацию  (х*, у*)  и смешанные стратегии  х*, у*  равновесными, если неравенства

  Н₁(х*, у*) ≥ Н₁(х, у*),     Н₂(х*, у*) ≥ Н₂(х*, у)                  (6.6)

выполняются для любых смешанных стратегий  х, у.

        В равновесной ситуации стратегии   х = х*, у = у*  обеспечивают игрокам максимальные равновесные выигрыши  Н₁(х*, у*), Н₂(х*, у*), поэтому для игроков они представляют первоочередной интерес.

        Покажем существование равновесных ситуаций в смешанных стратегиях. Положим по аналогии с матричной игрой

 х = (х₁, х₂) = (р, 1 - р),   0 ≤ р ≤ 1;

 у = (у₁, у₂) = (q, 1 - q),   0 ≤ q ≤ 3.                              (6.7)

        Формулы (6.7) устанавливают взаимно однозначное соответствие между ситуациями   (х, у)  в смешанных стратегиях и точками  (р, q)  единичного квадрата  0 ≤ р, q ≤  1. Подставляя (6.7) в (6.4), (6.5), получим

  Н₍₁₎ (р, q) = 3рq - р – q + 1,                                         (6.8)

 Н₍₂₎ (р, q) = 3рq – 2р – 2q + 2.                                     (6.9)

          Если  (р*, q*) – прообраз равновесной ситуации  (х*, у*), то по ее определению имеем

  Н₍₁₎ (р*, q*) ≥ Н₍₁₎ (р, q*),       Н₍₂₎ (р*, q*) ≥  Н₍₂₎ (р*, q)                 (6.10)

для любых  0 ≤ р, q ≤ 1   или, учитывая (6.8), (6.9),

 3р*q* - р* - q* + 1 ≥ 3рq* – р – q* + 1,

 3р*q* – 2р* – 2q* + 2 ≥ 3р*q – 2р* – 2q + 2.

Отсюда после несложных преобразований получим систему неравенств

 (р* - р) (q* - 1/3) ≥ 0,   (р* – 2/3) (q* – q) ≥  0

относительно неизвестных   р*, q*, которая должна выполняться для всех  0 ≤ р, q ≤  1. Используя последнее условие, находим три равновесные ситуации  (0, 0), (1, 1), (2/3, 1/3). Определяя по формулам (6.7) их образы и подсчитывая равновесные выигрыши (6.8), (6.9), получим полный набор равновесных ситуаций в игре  Г_А,В   (табл. 6.1).

        В третьей равновесной ситуации игроки имеют равные «средние» выигрыши, что можно расценить как достижение игроками разумного компромисса. Следовательно, отвечающие ей равновесные стратегии и равновесные выигрыши и надо считать решением игры. Суть компромисса между супругами во взаимных уступках с определенной частотой при выборе вечерних развлечений.