14. Экономич смысл доп и искусственных переменных при м-методе
Для решения М-задачи можно воспользоваться симплекс-методом, поскольку указан допустимый базис.
При решении М-задачи могут представиться две возможности:
1. М-задача имеет решение, т.е. min F существует.
2. М-задача не имеет решения, min F =¥.
Решая М-задачу, мы стремимся получить оптимальное решение, в котором значения искусственных неизвестных равны нулю. Для того чтобы этого достичь, необходимо выбрать последовательность шагов таким образом, чтобы все искусственные неизвестные вышли из базиса, т.е. стали свободными. Тогда в базисном решении значения этих неизвестных и будут как раз нулями.
Таким образом, переходя при решении М - задачи от одного базиса к другому, мы стараемся в первую очередь выводить из базиса одно искусственное неизвестное за другим. Возможны, впрочем, и такие (досадные) случаи, когда в процессе решения приходится заменять одно искусственное неизвестное на другое (выбор разрешающего элемента по-другому не получается). Но общим направлением вычислительного процесса во всех случаях остается постепенный вывод искусственных неизвестных из базиса.
Несмотря на то, что и дополнительные, и вспомогательные переменные создаются искусственно и используются для создания исходного базиса, их значения в решении сильно отличаются: дополнительные переменные сообщают, насколько соответствующее им ограничение «недоиспользовано». Значение дополнительной переменной нулю соответствует равенству значений правых и левых частей ограничения.
вспомогательные переменные сообщают, насколько данное условие далеко от допустимого (относительно конкретного ограничения). Если значение вспомогательной переменной больше нуля, то данное решение не выполняет определённое ограничение, а значит не является допустимым.
Смысл дополнит переменных это разность (например между между содержанием и необходимым минимумом каждого из пит веществ).
16. Геометрическая интерпретация этапов решения задачи симплексным м-методом.
19. Алгоритм решения задач симплексным методом и искусственным базисом. Расчет коэффициентов целевой строки исходной матрицы
Симплекс
метод с искусств базисом применяется
в тех случаях, когда затруднительно
найти первонач опорный план исходной
задачи лин программирования, записанной
в канонической форме. М-метод заключается
в применении правил симплекс-метода к
так называемой М-задаче. Она получается
из исходной добавлением к левой части
системы уравнений в канонич форме
исходной задачи лин программирования
таких искусств единичных векторов с
соответствующими неотриц искусств
переменными, чтобы вновь полученная
матрица содержала систему единичных
линейно-независимых векторов. В линейную
форму исходной задачи добавляется в
случае её максимизации слагаемое,
представляющее собой произведение
числа (–М) на сумму искусственных
переменных, где М – достаточно большое
положит число. В полученной задаче
первонач опорный план очевиден. При
применении к этой задаче симплекс-метода
оценки
теперь
будут зависеть от числа М. Для сравнения
оценок нужно помнить, что М – достаточно
большое положит число, поэтому из базиса
будут выводиться в первую очередь
искусственные переменные. В процессе
решения М–задачи следует вычеркивать
в симплекс-таблице искусственные векторы
по мере их выхода из базиса. Если все
искусств векторы вышли из базиса, то
получаем исходную задачу. Если оптим
решение М–задачи содержит искусств
векторы или М–задача неразрешима, то
исходная задача также неразрешима.
Путем преобразований число вводимых
переменных, составляющих искусств
базис, может быть уменьшено до одной.
Геом. Интерпретация
Путь решения любой задачи лин программирования: перебрать конечное число допустимых базисных решений системы ограничений и выбрать среди них те, на котором функция цели принимает оптим решение. Геометрически это соответствует перебору всех угловых точек многогранника решений. Такой перебор в конце концов приведет к оптим решению (если оно сущ), однако его практич осуществление связано с огромными трудностями, тк для реальных задач число допустимых базисных решений хотя и конечно, но Мб чрезвычайно велико. Число перебираемых допустимых базисных решений можно сократить, если производить перебор не беспорядочно, а с учетом изменений линейной функции, т.е. добиваясь того, чтобы каждое следующее решение было «лучше» (или не хуже), чем предыдущее, по значениям линейной функции (увеличение ее при отыскании максимума F->max, уменьшение – при отыскании минимума F->min). Такой перебор позволяет сократить число шагов при отыскании оптимума.