46. Биматричные игры. Максиминные и минимаксные стратегии игры игроков

                                     (6.1)

с элементами

a₁₁ = 2,       a₁₂ = -1,     a₂₁ = 1,       a₂₂ = 0;                            (6.2)

b₁₁ = 0,       b₁₂ = -2,     b₂₁ = -3,     b₂₂ = 1.

           Как и в матричной игре, пара матриц (6.1) однозначно задает правила биматричной игры. Стратегиями первого и второго игроков служат соответственно номера   i = 1, 2  строк и   j = 1, 2  столбцов этих матриц. Если игроки независимо выбрали свои стратегии  i, j  и в игре сложилась ситуация  (i, j), то выигрышем первого игрока будет элемент  а_{i j}  матрицы  A, а выигрышем второго – элемент  b_{i j}  матрицы  B. Цель каждого игрока состоит в максимизации индивидуального выигрыша.

44. Приведение матричной антагонистической игры к задаче линейного программирования

Игра m х п в общем случае не имеет наглядной геометрич интерпретации. Ее решение достаточно трудоемко при больших m*n, однако принципиальных трудностей не имеет, посколь­ку может быть сведено к решению задачи линейного программи­рования. Покажем это. Пусть игра т х п задана платежной мат­рицей р = (a_ij), i =1, 2, т; j = 1,2, п. Игрок А обладает стра­тегиями А₁ А₂, А_т игрок В — стратегиями В₁, В₂, В_п. Необ­ходимо определить оптимальные стратегии S*_A = (Р₁,Р₂,,,,Р_m) и S*_B (q₁, q₂, q_n) где p*,q* — вероятности применения соот­ветствующих чистых стратегий A_i В_j

Р₁+Р₂+Р_m=1 q₁+ q₂+ q_n=1

Оптим стратегия S*_A удовлетворяет след требо­ванию Она обеспечивает игроку А средний выигрыш, не мень­шим, чем цена игры v, при любой стратегии игрока В и выиг­рыш, равный цене игры v, при оптим стратегии игрока В. Без ограничения общности полагаем v> 0; этого можно добиться, сделав все элементы a_ij > 0. Если игрок А применяет смешанную стратегию S*_A = (Р₁,Р₂,,,,Р_m) против любой чистой стратегии Bj игрока B то он получает средний выигрыш, или математическое ожидание выигрыша aj = a_1jp₁ + a_2jP₂+a_mjP_m j=1,2,..n(т.е. элементы j-го столбца платежной матрицы почленно умножаются на соотв вероятности стратегий А₁,A₂…A_m и резуль­таты складываются).

Для оптим стратегии S*_A все средние выигрыши не меньше цены игры v, поэтому получаем систему неравенств:

Каждое из неравенств можно разделить на число v > 0. Введем новые переменные:

X₁=p₁/v Тогда система примет вид:(9.13)

Цель игрока А — максимизировать свой гарантированный вы­игрыш, т.е, цену игры v.

Разделив на v ≠ 0 равенство Р₁+Р₂+Р_m=1получаем, что переменные x_i,(i=1,2,…m) удовлетворяют условию: Х₁+Х₂ +… +х_m = 1/v. Максимизация цены игры v эквивалентна мини­мизации величины 1/v, поэтому задача может быть сформулиро­вана следующим образом: определить значения переменных x_i ≥ 0, i= 1, 2, т, так, чтобы они удовлетворяли лин ограничени­ям (9.13) и при этом лин функция

Z=x₁ + х₂+...+х_m (9.14)

обращалась в минимум. Это задача лин программирования. Решая задачу (9.13)—(9.14), получаем оптим решение Р₁ P₂….Р_m ^и оптим стратегию S*_A.

Для определения оптим стратегии S*_A - (q₁,q₂….q_n) следует учесть, что игрок В стремится минимизировать гаранти­рованный выигрыш, т.е. найти mах 1/v. Переменные q₁,q₂….q_n удовлетворяют неравенствам:

которые следуют из того, что средний проигрыш игрока В не пре­восходит цены игры, какую бы чистую стратегию не применял игрок А.

Если обозначить y_j=q_j/v j=1,2,3….n.(9.16) то получим систему неравенств(9.17):

Переменные у_i (j =1, 2,..., n) удовлетворяют условию У1 + У₂+.-.+У_n = 1/v.

Игра свелась к следующей задаче.

Определить значения переменных у_j≥ 0, j = 1, 2, ..., п, которые

удовлетворяют системе неравенств (9.17) и максимизируют линей­ную функцию

Z' = y₁+y₂+…y_n

Решение задачи линейного программирования (9.16), (9.17) определяет оптимальную стратегию S*_в = (q₁,q₂….q_n ).При этом цена игры

v=1/mахZ' = 1/minZ.