28. Транспортная задача линейного программирования. Метод потенциалов.

Цель транспортн задачи- разработка наиболее рациональн путей и способов транспортирования товаров, устранение чрезмерно дальних, встречных, повторных перевозок.

Транспортная задача ставится так: имеется m пунктов отправления_, в которых сосредоточены запасы каких-то однородных грузов. Имеется n пунктов назначения подавшие заявки соответственно на груза. Известны стоимости р_ij перевозки единицы груза от каждого пункта отправления до каждого пункта назначения. Все числа р_ij, образующие прямоугольную таблицу заданы. Требуется составить такой план перевозок, чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок была минимальна. Далее, предполагается, что

где b_i есть количество продукции, находящееся на складе i, и a_j – потребность потребителя j.

Алгоритм метода потенциалов:

Алгоритм метода потенциалов состоит из предварительного этапа и повторяющегося основного этапа.

Предварительный этап.

Каким-либо способом ищется допустимый план Х методом северо-западного угла или минимального элемента).

Для полученного плана строится система m+n чисел , , таких, что ,   .

Построенная система Ui и Vj исследуется на потенциальность, то есть, план X исследуется на оптимальность. Для этого проверяется , .

    Если система не потенциальна, то переходят к основному этапу (т.к. план не оптим), иначе оптим план найден.

Основной этап.

Улучшаем план, то есть от плана X переходим к плану X’ такому, что .

Для плана X’ строим новую систему , , , такую, что ,   .

Исследуем систему на потенциальность. Если система не потенциальна, то переходим на п.1. Иначе найден оптим план.

Допустимый опорный план транспортной задачи называется невырожденным, если число заполненных клеток транспортной таблицы, т.е. число положительных перевозок , равно m + n - 1, где  m – число пунктов отправления, n – число пунктов назначения.

Распределительные   задачи связаны с распределением ресурсов по работам, которые необходимо выполнить. Задачи этого класса возникают тогда, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой работы наиболее эффективн образом. Поэтому целью решения задачи, является отыскания такого распред ресурсов по работам, при котором либо минимизир общие затраты, связанные с вып работ, либо максимизир получаемый в результате общий доход.

29. Выбор наиболее эффективного пути улучшения плана при решении закрытой транспортной задачи методом потенциалов. Правила построения цепочек перемещения. Экономическое содержание перемещений. Характеристика задач, решаемых этим методом.

Для решения транспортной задачи методом потенциалов строится система потенциалов ,   . Если опорное решение невырожденно, то число неизвестных на 1 больше числа уравнений. При вырожденном опорном решении число этих уравнений еще меньше. По аналогии симплекс-методом, в невырожденном решении Xij > 0 представляют собой базисные переменные, а Xij = 0 – небазисные. Если опорное решение вырожденно, то часть базисных переменных принимает нулевые значения.

     Пусть первое опорное решение, найденное методом северо-западного угла или методом минимального элемента, является вырожденным. Тогда, чтобы решать задачу методом потенциалов необходимо выбрать в качестве базисных переменных некоторые перевозки Xij =0 и для них также составить уравнения по условию (2) теоремы. Какие перевозки вида Xij = 0 включать в базисные? Выбираются такие клетки таблицы с Xij = 0, чтобы из базисных переменных нельзя было организовать ни одного цикла!

     При переходе к новому улучшенному плану задачи в небазисные переменные переводится перевозка из отрицательной полуцепи, которая находится nfr: . В вырожденной задаче это значение может достигаться на нескольких перевозках Xij отриц полуцепи. В этом случае на каждом шаге в небазисные переменные переводится та мин перевозка отриц полуцепи, которая связана с пунктом производства, имеющим меньший номер. Это правило уменьшает вероятность возникновения зацикливания, что само по себе достаточно редкое явление в практических задачах.

30. Матрица (математическая модель) открытой транспортной задачи. Условный потребитель (получатель). Характеристика задач, решаемых этим методом.

При открытой транспортной задаче сумма запасов не совпадает с суммой потребностей, т е .

При этом

1)Если , то объем запасов превышает объем потребления.

Для решения вводят фиктивного (n+1)-го потребителя.

Модель такой задачи имеет вид

2)Если ,то объем потребления превышает объем запасов.

Для решения вводят фиктивного (m+1)-го поставщика.

Модель:

Открытая модель решается приведением к закрытой модели.

В случае (а), когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, вводится фиктивный потребитель B_n+1, потребности которого b_n+1 = . В случае (б), когда суммарные потребности превышают суммарные запасы, вводится фиктивный поставщик A_m+1, запасы которого a_m+1 = .

Стоимость перевозки единицы груза как фиктивного потребителя, так и стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика полагают равными нулю, так как груз в обоих случаях не перевозится.