1-4. Мат методы, модели

Экономико-математическая модель — мат описание исследуемого экономич процесса или объекта. Эта модель выра­жает закономерности экономич процесса в абстрактном виде с помощью матем соотношений. Использование матем моделирования в экономике позволяет углубить количе­ственный экономич анализ, расширить область экономич инфы, интенсифицировать экономич расчеты.

Можно выделить 3 осн этапа проведения экономико- матем моделирования. На 1 этапе ставятся цели и задачи исследования, проводится качественное описание объекта в виде экономич модели. На 2 этапе формируется мате­матич модель изучаемого объекта, осуществляется выбор (или разработка) методов исследования, проводится программирование модели на ЭВМ, подготавливается исходная инфа. Далее про­веряются пригодность машинной модели на основании правильно­сти получаемых с ее помощью результатов и оценка их устойчивости. На 3, основном, этапе экономико-математич моде­лирования осуществляются анализ математич модели, реализо­ванной в виде программ для ЭВМ, проведение машинных расчетов, обработка и анализ полученных результатов.

Процедура экономико-математич моделирования заме­няет дорогостоящие и трудоемкие натуральные эксперименты расчетами. Действительно, при использовании экономико-математич методов достаточно быстро и дешево производится на ЭВМ сравнение многочисл вариантов планов и управ­ленческих решений. В результате отбираются наиболее оптим варианты.

5. Классификация задач оптимизации

Класс оптимизацион­ных моделей. Такие задачи возникают при попытке оптимизировать планирование и управление сложными системами, в первую очередь экономич системами. Оптимизационную задачу можно сформулировать в общем виде: найти переменные X1, X2, ..., Xn, удовлетворяющие системе неравенств (уравнений): φi (X1, X2, X3, …, Xn) <= bi, i=1,2,…,m

и обращающие в max/min целевую функцию, т.е. Z = f (x1, x2, ..., xn) -> mах (min).

(Условия неотриц переменных, если они есть, вхо­дят в ограничения )

В случаях, когда функции F и φi - в задачах хотя бы дважды дифференцируемы, можно применять классические методы оптимизации. Но применение этих методов в ис­следовании операций ограничено. Классич методы не работают, если множество допустимых значений аргумента дискретно или функ­ция Z задана таблично. В этих случаях для решения задач применяются методы матем программи­рования.

Если критерий эффективности Z = f(x1, х2, ..., xn) пред­ставляет лин функцию, а функции φi (x1, х2, х3,..., xn) в сис­теме ограничений также линейны, то это задача лин программирования. Если, исходя из содержатель­ного смысла, ее решения должны быть целыми числами, то это задача целочисл лин программирования. Если критерий эффективности и (или) система ограничений задаются нелин функциями, то это задача нелин программирования. В частности, если указанные функции обладают свойствами вы­пуклости, то это задача выпуклого про­граммирования.

Из перечисл методов математич программирова­ния наиболее распространенным и разработанным является ли­н программирование. В его рамки укладывается широкий круг задач исследования операций.

По своей содержательной постановке множество других, ти­пичных задач исследования операций может быть разбито на ряд классов.

Среди моделей исследования особо выделяются модели принятия оптим решений в конфликтных ситуациях, изучаемые теорией игр. К конфликтным ситуациям, в которых сталкиваются интересы 2 и более сторон, преследующих разные цели можно отнести ряд ситуаций в экономике, праве и т.д. В задачах теории игр нужно выработать рекомендации по разумному поведению участников конфликта, определить их оптим стратегии.

6. Постановка задач, применяющих методы лин программ.

8. Функция цели и типы уравнений-ограничений

9. Условные обозначения в задачах лин программирования

15. Типы уравнений-ограничений в эконом-мат моделях, приведение к канонич виду

Оптимизационную задачу можно сформулировать в общем виде: найти переменные X1, X2, ..., Xn, удовлетворяющие системе неравенств (уравнений)

φi (x1, x2, x3, …, xn) <= bi, i =1,2,…,m

и обращающие в максимум (или минимум) целевую функцию, т.е.

Z = f (X1, X2, ..., Xn) -> mах (min).

(Условия неотриц переменных, если они есть, вхо­дят в ограничения)

Если критерий эффективности Z = f(x1, х2, ..., xn) пред­ставляет линейную функцию, а функции фi, (x1, х2, х3,..., Xn)в сис­теме ограничений также линейны, то такая задача является задачей линейного программирования. Если, исходя из содержатель­ного смысла, ее решения должны быть целыми числами, то эта задача целочисленного линейного программирования.

Общая задача лин про­граммирования: дана система m линейных уравнений и неравенств с n перемен­ными:

A11X1 + A12X2 + … + A1nXn <= B1,

A21X1 + A22X2 + … + A2nXn <= B2,

………………………………………

Ak1X1 + Ak2X2 + … + AknXn <= bk,

Ak+1,1X1 + Ak+1,2X2 + … + Ak+1,nXn = Bk+1,

Ak+2,1X1 + Ak+2,2X2 + ... + Ak+2,nXn = Bk+2

..............................................................

Am1X1 + Am2X2 + ... + AmnXn = Bm

(Это всё в системе!!)

и линейная функция: F = C1X1 + C2X2 + … + CnXn.

Надо найти такое решение системы Х= (X1, X2, ..., Xj, ..., Xn), где Xj >= 0 (j=l,2,..., L; L <= n), при котором лин функция F принимает оптим (max/min) значение.

Система называется системой ограничений, а функция F — лин функцией, лин формой, целевой функцией или функцией цели.

Более кратко общую задачу линейного программирования можно представить в виде: F = ∑ CjXj -> max (или -> min) при ограничениях:

{∑AijXj ≤ Bi (i = 1,2,…,k),

{∑AijXj = Bi (I = k+1,k+2,…, m),

(это в системе!!)

Xj ≥ 0 (j = 1,2,…,L; L ≤ n).

Оптим решение задачи ли­н программирования – решение Х = (X1, X2, …, Xj, …, Xn) системы ограничений, удовлетворяющее условию, при котором лин функция принимает опти­м (max/min) значение.

При условии, что все переменные неотрицательны (Xj ≥ 0, j =1, 2, ..., n), система ограничений состоит лишь из одних неравенств, — такая задача линейного программирования называется стандарт­ной; если система ограничений состоит из одних уравнений, то зада­ча называется канонической. Любая задача линейного программирования может быть сведе­на к канонической, стандартной или общей задаче.

Представим стандартную задачу в каноническом виде, введя в каждое из m неравенств системы ограничений доп неотриц переменные Xn+1, Xn+2, …, Xn+m, получим:

A11X1 + A12X2 + … + A1nXn + Xn+1 = B1,

A21X1 + A22X2 + … + A2nXn + Xn+2 = B2,

……………………………………………..

Am1X1 + Am2X2 + … + AmnXn + Xn+m = Bm.

(Это всё в системе!!!)