12. Этапы вычисления симплексным методом

17. Алгоритм решения симплекс методом

Смысл дополнит переменных это разность (например между между содержанием и необходимым минимумом каждого из пит веществ).

Для использования симплексного метода задача лин программирования должна быть приведена к каноническому виду, т.е. система ограничений должна быть представлена в виде урав­нений.

Если расчеты осуществляются без ЭВМ, то удобно использовать симплекс таблицы. Да­лее мы рассмотрим алгоритм их составления (для max).

1. После введения добавочных переменных систему уравнений и лин функцию записываем в виде расширенной системы. Предполагаем, что все добавочные переменные имеют тот же знак, что и свободные члены; иначе используем М-метод.

2. Исходную расширенную систему заносим в первую сим­плекс таблицу. Последняя строка таблицы, в которой приве­дено уравнение для лин функции цели, называется оценоч­ной. В ней указываются коэффициенты функции цели с противо­положным знаком: Bi = - Ci. В левом столбце таблицы записыва­ем основные переменные (базис), в 1 строке таблицы — все переменные (отмечая при этом основные), во втором столбце — свободные члены расширенной системы B1, B2, …, Bm. Последний столбец подготовлен для оценочных отношений, необходимых при расчете наибольшего возможного значения переменной. В рабочую часть таблицы зане­сены коэффициенты Aij при переменных из расширенной системы.

3. Проверяем выполнение критерия оптим при ре­шении задачи на max — наличие в последней строке отри­ц коэффициентов. Если таких нет, то ре­шение оптимально, достигнут max F = C0 (в левом нижнем углу таблицы), основные переменные принимают значения Ai0 (второй столбец), основные переменные равны 0, т.е. получаем оптималь­ное базисное решение.

4. Если критерий оптимальности не выполнен, то наиболь­ший по модулю отрицательный коэффициент в последней строке определяет ключевой столбец s.

Определяем min {Bi/Ais} (если Ai0 b Ais имеют одинаковые знаки). Затем выбираем ключевую строку, где получен конечный минимум. На пересечении ключевых строки и столбца находится ключевой элемент Aqs.

5. Переходим к следующей таблице по правилам:

а) в левом столбце записываем новый базис: вместо основной переменной Xq — переменную Xs.

б) в столбцах, соответствующих основным переменным, про­ставляем нули и единицы: 1 — против "своей" осн пере­менной, 0 — против "чужой" осн переменной, 0 — в последней строке для всех осн переменных;

в) новую строку с номером q получаем из старой делением на ключ элемент

г) все остальные элементы A’ij вычисляем по правилу прямо­угольника.

Дальше опять переходим к пункту 3.

13. Правила составления исходной матрицы и 1-ого плана

Для использования симплексного метода задача лин программирования должна быть приведена к каноническому виду, т.е. система ограничений должна быть представлена в виде урав­нений.

Для нахождения первонач базисного решения нужно разбить переменные на 2 группы: основные и неосновные. Тк определитель, составленный из коэффициентов при доп переменных отличен от нуля, то эти переменные можно взять в качестве основных на 1 шаге решения задачи. При выборе осн переменных на 1 шаге не обязательно составлять определитель из их коэффициентов и проверять, равен ли он 0. Достаточно воспользоваться правилом: в качестве осн переменных на 1 шаге следует выбрать такие m переменных, каждая из которых входит только в 1 из m уравнений системы ограничений, при этом нет таких уравнений системы, в которые не входит ни одна из этих переменных. Доп переменные удовлетворяют этому же правилу. Если выбранные по этому правилу переменные имеют те же знаки, что и соответствующие им свободные члены в правых частях уравнений, то такое базисное решение будет допустимым.

Алгоритм получения первоначального допустимого базисного решения:

1. Если каждая доп переменная входит в уравнение с тем же знаком, что и свободный член, стоящий в правой части уравнения, то доп пе­ременные можно брать в качестве основных на 1 шаге. При этом получится допустимое базисное решение.

2. Если первое базисное решение получилось недопустимым (напр, в качестве осн взяты доп перемен­ные, но хотя бы одна из них входила в уравнение со знаком, про­тивоположным знаку свободного члена), то рассматриваем урав­нение, содержащее отриц свободный член (любое, если их несколько), и переводим в основные ту неосновную перемен­ную, которая в это уравнение входит с положит коэффи­циентом (любую, если их несколько). Такие шаги повторяем до тех пор, пока не достигается допустимое базисное решение.

3. Если базисное решение недопустимое, а в уравнении, со­держащем отриц свободный член, отсутствует неоснов­ная переменная с положит коэффициентом, то допустимое базисное решение получить нельзя, т.е. условия задачи противоречивы.

+ см. вопрос 12.