1.6. Примеры графов

Перечислим наиболее типичные примеры графов.

1. Нуль-граф. Граф, состоящий только из изолированных вершин, называется нуль-графом или вполне несвязным и обозначается где – число вершин.

2. Полный граф. Граф, у которого любые две вершины смежные, называется полным графом. Полный граф с вершинами обозначается . Число ребер полного графа равно .

На рисунках 1.6.1 и 1.6.2 изображены графы и .

3. Регулярный граф. Граф, у которого все вершины имеют одну и ту же степень , называется регулярным (однородным) графом степени . Непосредственно из теоремы 1.3.1 следует следующее утверждение.

Утверждение 1.6.1. В регулярном степени конечном графе с вершинами и ребрами справедливо равенство

.

В частности, если – нечетное число, то число вершин регулярного графа является четным.

Отметим, что каждый вполне несвязный граф является регулярным степени , а каждый полный граф – регулярным степени Графы и , изображенные на рис. 1.6.1 и 1.6.2, – регулярные степени 3 и 4 соответственно. Регулярные графы степени 3 называются также кубическими (или трехвалентными) графами (см., например, рис. 1.2.2, 1.2.3). Другим примером кубического графа является известный граф Петерсена, изображенный на рис. 1.6.3.

4. Платоновы графы. Формула Эйлера. Среди регулярных графов особенно интересны так называемые платоновы графы – графы, образованные вершинами и ребрами пяти правильных многогранников – платоновых тел: тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра. Графы платоновых тел изображены на рисунках 1.6.4–1.6.8. В приведенной ниже таблице указано количество граней вершин и ребер платоновых графов.

Многогранник	Форма грани	Вершин	Ребер	Граней
Тетраэдр	треугольник	4	6	4
Куб	квадрат	8	12	6
Октаэдр	треугольник	6	12	8
Додекаэдр	пятиугольник	20	30	12
Икосаэдр	треугольник	12	30	20

Числа граней вершин и ребер связаны между собой очень важным соотношением, которое называется формулой Эйлера для многогранников:

5. Двудольные графы. Граф называется двудольным или биграфом, если множество его вершин разбито на два непересекающихся подмножества и , причем каждое ребро из соединяет какую-нибудь вершину из с какой-нибудь вершиной из . В двудольном графе не обязательно, чтобы каждая вершина из соединялась с каждой вершиной (рис. 1.6.9), если же это так, то граф называется полным двудольным графом и обозначается , где и – число вершин в и, соответственно, в . На рис. 1.6.10 изображен граф , а на рис. 1.2.2 – варианты графа Граф имеет вершин и ребер. Ясно, что . Полный двудольный граф называется звездным графом. Граф изображен на рис. 1.6.11.

Теорема 1.6.2. [Кёниг Д.]. Граф является двудольным тогда и только тогда, когда все его простые циклы имеют четную длину.

Доказательство. Действительно, если – двудольный граф и где , то для любого цикла имеем, например, и так далее.

Поэтому каждый простой цикл графа содержит вершины из с нечетными номерами и вершины из с четными номерами. Следовательно, длина этого цикла является четным числом.

Обратно, пусть не содержит нечетных циклов. Так как граф двудольный тогда и только тогда, когда все его связные компоненты являются двудольными, то можно считать, что – связный граф. Пусть и минимальная длина цепи является четной}, . Если какие-нибудь вершины из соединены ребром, то содержит цикл нечетной длины. Противоречие.

6. Цепи, циклы и колеса. Простая цепь с вершинами обозначается . На рис. 1.2.4 изображена цепь , а на рис. 1.5.1 – цепь . Связный регулярный

граф степени 2 называется циклическим графом или циклом и обозначается , где – число вершин. Очевидно, что . Граф Петерсена (рис. 1.6.3) получается из двух простых циклов . Соединение графов и называется колесом с вершинами и обозначается . На рис. 1.6.12 и 1.6.13 изображены графы и .

7. Кубы. С помощью операции произведения графов определим рекурсивно важный класс графов, называемых n-мерными кубами. Рассмотрим граф , вершины которого обозначим и . n-мерный куб определяется следующим образом: – вполне несвязный граф с одной вершиной (то есть граф ), . Вершинами n-мерного куба являются всевозможные кортежи длины элементы которых равны и (всего таких наборов ). Ребра куба задаются следующим образом: вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие кортежи различаются точно одной координатой. На рис. 1.6.14 изображены одномерный , двумерный и трехмерный кубы.