9. Алгоритмы отыскания гамильтоновых циклов
9.1. Алгоритм с возвратом (полного перебора)
Пусть G – произвольный граф с n вершинами. Опишем алгоритм, позволяющий найти в графе G все гамильтоновы циклы или выдать сообщение, что таких циклов нет. Пусть – произвольная вершина графа G. Рассмотрим некоторый гамильтонов цикл
.
Легко понять, что если мы научимся строить все максимальные простые цепи с началом в вершине , то задача о нахождении гамильтоновых циклов будет решена. Действительно, пусть
– максимальная
простая цепь с началом в вершине
.
Если
и вершина
смежна с вершиной
,
то, добавляя к цепи P
ребро
,
получим гамильтонов контур.
Пусть
– множество всех простых цепей, имеющих
начало в вершине
.
Для произвольных цепей
положим
,
если цепь P
является началом цепи Q.
Отношение
на множестве
является отношением частичного порядка.
Максимальные элементы частично
упорядоченного множества
называются максимальными простыми
цепями с началом в вершине
.
Алгоритм, позволяющий перечислить по одному разу все гамильтоновы циклы графа G, многократно выполняет следующую работу: имея текущую простую цепь
,
он по очереди добавляет к ней новые вершины, продолжая ее до всевозможных максимальных простых цепей с началом в вершине .