7. Эйлеровы графы

7.1. Теорема Эйлера

Начало теории графов, как раздела математики, связывают с так называемой задачей о кёнигсбергских мостах. Эта знаменитая в свое время задача состоит в следующем. В городе Кёнигсберге были расположены семь мостов на реке Преголь, как показано на рис. 7.1.1. Спрашивалось, можно ли, выйдя из дома, вернуться обратно, пройдя в точности один раз по каждому мосту. Поставим в соответствие плану города (рис. 7.1.1) граф , вершины которого соответствуют берегам и двум островам, а ребра – мостам (рис. 7.1.2). Тогда задача о кёнигсбергских мостах на языке теории графов формулируется так: существует ли в мультиграфе хотя бы один цикл, содержащий все ребра этого графа?

В 1736 г. Л. Эйлер в трудах петербургской академии наук доказал, что не существует цикла, включающего каждое ребро графа по одному разу.

Цикл (цепь) в графе называется эйлеровым (полуэйлеровой), если он (она) содержит все ребра графа. Связный граф, в котором есть эйлеров цикл (цепь), называется эйлеровым (полуэйлеровой) графом. Такой граф можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не повторяя линий. Например, граф, изображенный на рис. 7.2.1, является эйлеровым, поскольку он содержит эйлеров цикл. В этом графе есть и другие эйлеровы циклы. Ясно, что любые два таких цикла отличаются друг от друга только порядком обхода ребер.

Теорема 7.1.1. [Эйлер Л., 1736 г.]. Связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четны.

Доказательство. Предположим, что P является эйлеровым циклом в графе G. Тогда при всяком прохождении цикла через любую вершину графа используется одно ребро для входа и одно ребро для выхода. Поскольку каждое ребро используется один раз, то каждая вершина должна иметь четную степень.

Обратное утверждение доказывается индукцией по числу ребер в графе G. Пусть граф G связен и степень каждой вершины четна. На основании теоремы 1.4.1 граф содержит цикл C. Если C содержит каждое ребро, то все доказано. Если же нет, то удаляем из графа G все ребра, принадлежащие циклу C. Получаем новый граф , возможно несвязный. Число ребер в меньше, чем в G, и каждая вершина имеет четную степень. По индуктивному предположению в каждой компоненте графа имеется эйлеров цикл. В силу связности графа G каждая компонента графа имеет общие вершины с циклом C. Теперь проходим ребра графа G следующим образом: идем по ребрам цикла C до первой неизолированной вершины графа . Затем проходим эйлеров цикл в компоненте графа , затем снова двигаемся по циклу C до следующей неизолированной вершины графа . Ясно, что процесс заканчивается в исходной вершине, что и показывает существование эйлерова цикла.

Следствие 7.1.1. Связный граф является полуэйлеровым тогда и только тогда, когда он имеет две вершины нечетной степени.

Доказательство. Доказательство необходимости такое же, как и в теореме. Достаточность условия доказывается так. Пусть в графе ровно две вершины нечетной степени. Соединим эти вершины новым ребром, тогда, согласно теореме Эйлера, получим эйлеров граф. Построим в новом графе эйлеров цикл; удаление ранее добавленного ребра приводит к эйлеровой цепи в исходном графе.

В заключение отметим, что для случайно построенного графа вероятность его эйлеровости (при большом числе вершин) мала, то есть почти все графы не являются эйлеровыми.

Теорема 7.1.2. [Рейд Р., 1962 г.] Пусть – множество всех помеченных графов с вершинами, – множество всех помеченных эйлеровых графов с вершинами. Тогда

Доказательство. Пусть – множество всех простых помеченных графов с вершинами, степень каждой из которых четна. Связные графы из составляют подмножество эйлеровых графов ; поэтому и . Каждый граф из определяется некоторым подмножеством ребер полного графа , содержащего ребер, поэтому . Оценим мощность множества . Так как в любом графе число вершин нечетной степени – четно, то любой граф из можно получить из некоторого графа , если добавить новую вершину и соединить её со всеми старыми вершинами нечетной степени. Следовательно, .

Далее просто:

,

при .