Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Омский государственный технический университет»
В. Н. Степанов дискретная математика: графы и алгоритмы на графах
Учебное пособие
Омск
Издательство ОмГТУ
2010
УДК 519.8(075)
ББК 22.176я73
С79
Рецензенты:
А. А. Колоколов, д-р физ.-мат. наук, профессор;
А. В. Пролубников, канд. физ.-мат. наук, доцент
Степанов, В. Н.
С79 Дискретная математика: графы и алгоритмы на графах: учеб. пособие / В. Н. Степанов. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2010. – 120 с.
ISBN 978-5-8149-0913-8
Основное назначение данного учебного пособия – методическое обеспечение курса "Дискретная математика". В пособии излагаются основы теории графов и алгоритмов на графах. Предназначено для студентов инженерных специальностей.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Омского государственного технического университета
УДК 519.8(075)
ББК 22.176я73
© ГОУ ВПО «Омский
государственный
технический
университет», 2010
ISBN 978-5-8149-0913-8
Оглавление
Предисловие 5
1. Основные понятия теории графов 6
1.1. Граф и его разновидности 6
1.2. Морфизмы графов 7
1.3. Степени вершин 9
1.4. Маршруты, цепи, циклы, связность 10
1.5. Операции над графами 12
1.6. Примеры графов 15
1.7. Метрические характеристики графов 19
1.8. Представления графов 21
2. Алгоритмы и сложность 25
2.1. Понятие алгоритма 25
2.2. Сложность алгоритма 26
2.3. Запись алгоритма 28
3. Обходы графов 29
3.1. Поиск в глубину на графе 29
3.2. Поиск в ширину на графе 32
3.3. Алгоритм выделения компонент связности 33
4. Деревья 34
4.1. Деревья. Свойства деревьев 34
4.2. Остовы. Теорема Кирхгофа 36
4.3. Теорема Кэли 38
4.4. Фундаментальная система циклов. Цикломатическое число 39
4.5. Алгоритм отыскания фундаментального множества циклов на графе 41
5. Остов минимального веса. Алгоритм Краскала и Прима 42
5.1. Алгоритм Д. Краскала 43
5.2. Алгоритм Р. Прима 44
6. Кратчайшие пути между вершинами графа 46
6.1. Алгоритм Дейкстры 46
6.2. Алгоритм Флойда 50
7. Эйлеровы графы 54
7.1. Теорема Эйлера 54
7.2. Алгоритм Флёри 56
8. Гамильтоновы графы 58
8.1. Гамильтоновы маршруты. Задача коммивояжера 58
8.2. Существование гамильтоновых маршрутов 61
9. Алгоритмы отыскания гамильтоновых циклов 64
9.1. Алгоритм с возвратом (полного перебора) 64
9.2. Метод ветвей и границ 66
9.2.1. Схема метода ветвей и границ 66
9.2.2. Оценка снизу длин всех гамильтоновых контуров. Операция приведения матрицы 68
9.2.3. Ветвление множества
Оценки снизу подмножеств
и
69
9.2.4. Общий случай определения оценок снизу 70
9.2.5. Выбор дуги ветвления 70
9.2.6. Описание алгоритма 71
9.2.7. Пример 72
9.3. Метод Монте–Карло 80
10. Потоки в сетях 80
10.1. Основные понятия и результаты 80
10.2. Алгоритм Л. Форда – Д. Фалкерсона 82
10.3. Корректность алгоритма Форда – Фалкерсона 86
11. Планарные графы 88
11.1. Укладки графов 88
11.2. Теорема Эйлера о плоских графах 90
11.3. Критерий планарности 93
11.4. Планарность и двойственность 94
12. Раскрашивание графов 96
12.1. Хроматическое число графа 96
12.2. Раскраска карт 98
12.3. Алгоритм последовательной раскраски вершин графа 100
13. Задачи и упражнения 101
Библиографический список 114
Предметный указатель 116