4.4. Фундаментальная система циклов. Цикломатическое число

Из определения дерева и теоремы 4.1.1 вытекает следующая теорема.

Теорема 4.4.1. Число ребер произвольного неориентированного графа , которые необходимо удалить для получения остова, не зависит от последовательности их удаления и равно , где – число ребер, – число вершин, – число компонент связности графа .

Доказательство. Рассмотрим -ую компоненту связности графа . Пусть содержит вершин и ребер. Тогда остов графа , являясь деревом, содержит ребро, следовательно, для получения остова из компоненты нужно удалить ребер. Суммируя по всем компонентам связности, получим:

Число называется цикломатическим числом или циклическим рангом графа . Число называется коциклическим рангом или корангом графа и равно числу ребер, входящих в любой остов графа .

Следующие два утверждения являются следствиями доказанной теоремы.

Следствие 4.4.1. Неориентируемый граф является лесом тогда и только тогда, когда .

Следствие 4.4.2. Неориентируемый граф имеет единственный цикл тогда и только тогда, когда .

Пусть – неориентированный граф с вершинами, ребрами; – компоненты связности, – остов графа . Остов имеет ребер , которые называются его ветвями. Оставшиеся ребер , не входящие в , называются хордами остова . Согласно пункту 6 теоремы 4.1.1, если к остову добавить произвольную хорду , то в полученном графе найдется ровно один цикл , состоящий из хорды и некоторых ветвей остова. Цикл называется фундаментальным циклом графа относительно хорды остова . Множество всех фундаментальных циклов относительно хорд остова называется фундаментальным множеством циклов графа относительно остова . Ясно, что мощность фундаментального множества циклов равна цикломатическому числу графа .

Обозначим через последовательность всех ребер графа . Фундаментальному циклу соответствует вектор , определенный по правилу:

Тогда фундаментальное множество циклов задается матрицей фундаментальных циклов

Так как каждый фундаментальный цикл содержит ровно одну хорду , то матрица имеет вид:

где – единичная матрица порядка .

Пример 4.4.1. Найти матрицу фундаментальных циклов графа , изображенного на рисунке 4.4.1.

Так как , то для получения остова следует удалить три ребра. Обозначим их номерами Ребра, входящие в остов, обозначим номерами . Фундаментальный цикл , соответствующий хорде , состоит из ребер ; цикл – из ребер ; цикл – из ребер . Поэтому матрица фундаментальных циклов имеет вид:

Выделение фундаментальной системы циклов находит применение при анализе электрических цепей. Если с электрической цепью сопоставить граф, ребра которого соответствуют источникам ЭДС, сопротивлениям, индуктивностям и т.д., а вершины – узлам соединений элементов цепи, то при использовании закона Кирхгофа для напряжений, гласящего, что сумма падения напряжений вдоль цикла равна нулю, необходимо найти фундаментальную систему циклов. Уравнения, отвечающие этим циклам, не будут зависеть друг от друга, в то же время их выполнение будет гарантировать выполнение уравнений для всех циклов графа.