1.5. Операции над графами

Рассмотрим некоторые основные операции, производимые над графами.

1. Дополнение графа. Дополнением графа называется граф , где и , то есть на вершинах графа строится полный граф, а затем из этого полного графа удаляются ребра графа . На рис. 1.5.1 граф справа является дополнением графа слева. Графы, изображенные на рис. 1.5.1, взаимодополнительные и изоморфные. Биекция, определяющая изоморфизм, может быть задана в виде

Самодополнительный граф – это граф, изоморфный своему дополнению. На рис. 1.5.2 изображен еще один самодополнительный граф.

2. Объединение графов. Объединением графов и

(обозначается ) называется граф , множеством вершин которого является , а множеством ребер (рис. 1.5.3). Объединение графов дизъюнктивное, если объединяемые графы не имеют общих вершин: . Дизъюнктивное объединение графов обозначается .

3. Пересечение графов. Пересечением графов и

(обозначается ) называется граф , где (рис. 1.5.4).

4. Соединение графов. Соединение графов и (обозначается , при условии ) состоит из и всех ребер где и (рис. 1.5.5).

5. Произведение графов. Произведением графов и называется граф , в котором

тогда и только тогда, когда и или и Пример произведения графов представлен на рис. 1.5.6.

6. Стягивание графа. Пусть дан граф и ребро соединяющее вершины и . Операция удаления ребра и отождествление вершин и называется стягиванием (рис. 1.5.7).

=

7. Реберный граф. Для произвольного графа реберный граф определяется следующими двумя условиями:

1) вершины графа взаимно однозначно сопоставлены ребрам гра­- фа .

2) вершины и смежны в тогда и только тогда, когда соответствующие им ребра и смежны в .

Реберный граф строится следующим образом. На каждом ребре графа выбирается фиксированная точка, например, середина этого ребра. Пара таких вершин и соединяется новым ребром, принадлежащим тогда и только тогда, когда соответствующие ребра в графе имеют общую вершину. На рис. 1.5.8 слева изображен граф , а справа – его реберный граф .