8.2. Существование гамильтоновых маршрутов

В этом пункте рассматриваются условия, гарантирующие существование гамильтоновых контуров и циклов.

Теорема 8.2.1. [Кёниг Д.]. В полном ориентированном графе (любая пара вершин которого соединена хотя бы в одном направлении) всегда существует гамильтонов путь.

Доказательство. Пусть – путь длины , все вершины которого различны (длина пути – это число дуг). Тогда, как нетрудно показать (см. [3]), для любой вершины , в силу полноты орграфа, можно построить путь , содержащий вершину :

при некотором . Здесь

Таким образом, можно шаг за шагом построить путь, содержащий все вершины графа по одному разу.

Теорема 8.2.2. [Дирак Г., 1952 г.]. Если в простом графе порядка для любой вершины выполняется неравенство , то граф – гамильтонов.

Доказательство. От противного. Пусть – не гамильтонов. Добавим к графу минимальное количество новых вершин , соединяя каждую из них с каждой вершиной графа так, чтобы полученный граф стал гамильтоновым. Затем, считая, что , придем к противоречию.

Пусть – гамильтонов цикл в графе , где и – вершины из , а – одна из новых вершин. Такая пара вершин и в гамильтоновом цикле обязательно найдется, иначе граф был бы гамильтоновым. Тогда , иначе вершина была бы не нужна. Более того, вершина не является смежной с вершиной , иначе вершина была бы не нужна.

Далее, если в цикле есть вершина , смежная с вершиной , то вершина несмежна с вершиной , так как иначе можно было бы построить гамильтонов цикл без вершины , взяв последовательность вершин в обратном порядке. Из этого следует, что число вершин графа , не являющихся смежными с , не меньше числа вершин, смежных с (то есть больше либо равно ). С другой стороны, очевидно, что число вершин графа , смежных с , также больше либо равно . А так как ни одна вершина графа не может быть одновременно смежной и не смежной вершине , то общее число вершин графа , равное , не меньше, чем . Противоречие.

Теорема 8.2.3. [Оре О., 1960 г.]. Если в графе порядка для любой пары несмежных вершин и выполняется неравенство то граф – гамильтонов.

Теорема Дирака является следствием теоремы Оре.

Теорема 8.2.4. [Хватал, 1972 г.] Пусть G – обыкновенный граф, – его степенная последовательность и . Если для любого k верна импликация

,

то граф G – гамильтонов.

Пример 8.2.1. Покажем, что граф Петерсена (рис. 8.2.1) не гамильтонов.

В графе Петерсена , , поэтому . Следовательно, теорема Дирака не выполняется. Теорема Оре также не выполняется, так как

при условии, что вершины и не смежны и .

Проверим теперь условия теоремы Хватала. Для выясним истинность импликации

.

Для – импликация истинна;

Для – импликация истинна;

Для – импликация не истинна;

Для – импликация не истинна.

Таким образом, для и условия теоремы нарушены и, следовательно, граф Петерсена не гамильтонов.

Известно, что почти нет эйлеровых графов (см. теорему 7.1.2). В противоположность к этому Перепелица доказал, что почти все графы гамильтоновы.

Теорема 8.2.5. [Перепелица В.А., 1969 г.]. Пусть – множество всех простых помеченных графов с вершинами, – множество всех простых помеченных гамильтоновых графов с вершинами.

Тогда

.

Таким образом, вероятность того, что «случайный граф» с вершинами является гамильтоновым, стремится с ростом к единице.