Предисловие

В последние десятилетия теория графов стала важнейшим математическим инструментом в решении многочисленных прикладных задач. Начало теории графов как математической дисциплины было положено Л. Эйлером в его статье о кенигсбергских мостах: Euler L. Solutio problematis ad geometriam situs pertinentes. Commentarii Academiae Petropolitanae. 8. 1736. P. 128–140. Однако эта статья была единственной в течение почти ста лет. Интерес к теории графов возродился в середине XIX века и был связан с решением головоломок, исследованиями Г. Кирхгофа по электрическим цепям, описанием моделей кристаллов и структур молекул.

Оказалось, что при помощи графов вполне можно моделировать самые разнообразные задачи. Это потребовало обоснований, и теория графов стала одной из самых быстро развивающихся областей математики. Так возникли два естественных направления работы с графами:

• изучение свойств абстрактных графов;

• применение графов в других науках и прикладных задачах: поиск кратчайших маршрутов, сетевое планирование, теория игр, методы передачи и обработки информации, электрические цепи, схемы транспортных коммуникаций, задачи теории расписаний, проблемы биологии, психологии, социологии.

В пособии излагаются основы теории графов. Приводятся основные виды и способы задания графов, операции над графами, метрические характеристики графов. Рассматриваются задачи нахождения оптимальных маршрутов на графах. Дается критерий Понтрягина – Куратовского планарности графа. Приведены некоторые результаты по раскрашиванию графов.

Данное учебное пособие содержит не только основные понятия и теоретические результаты, но и многочисленные примеры, а также большое количество задач и упражнений для самостоятельной работы или практических за­нятий.

1. Основные понятия теории графов

1.1. Граф и его разновидности

Простым графом (кратко – графом) называется пара множеств: непустое конечное множество и множество неупорядоченных пар элементов из множества

(то есть симметричное отношение на ).

Множество называется множеством вершин, а множество – множеством ребер. Число вершин графа называется его порядком и обозначается . Обычно граф изображают диаграммой: вершины – точками, ребра – линиями.

Если вершины соединены ребром то говорят, что вершины смежные, а ребро инцидентно вершинам . Множество всех вершин графа смежных с некоторой вершиной , называется окружением вершины и обозначается через Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину. На рисунке 1.1.1 изображен граф с четырьмя вершинами и пятью ребрами. Вершины смежные; вершины не смежные, ребра смежные; не смежные.

Часто рассматриваются следующие разновидности графов.

1. Если множество упорядоченных пар элементов из , то граф называется ориентированным графом (орграфом). В этом случае элементы множества называются дугами. При этом дуга называется исходящей из вершины и заходящей в вершину . На диаграмме графа дуга изображается линией со стрелкой из вершины в вершину .

2. Если в графе (в орграфе) хотя бы одна пара вершин соединена более чем одной дугой (ребром), то такой граф (орграф) называется мультиграфом (рис. 1.1.2), а ребра (дуги) называются кратными.

3. Если, кроме того, элементами множества могут быть пары , то они называются петлями, а граф называется графом с петлями или псевдографом. Обычно петля считается неориентированной. На рис. 1.1.3 ­­– петля.

4. Граф называется подграфом графа (обозначается ), если и

5. Если множество вершин подграфа есть , а множество его ребер совпадает с множеством всех ребер графа , оба конца которых принадлежат , то называется подграфом, порожденным множеством , и обозначается через .