2.9. Пример определения особых точек фазового порт­рета нелинейной системы.

Нелинейная система описывается нормальной системой уравнений вида:

, (2.22)

.

Чтобы получить особые точки, надо приравнять правые части нулю, а затем решить полученные нелинейные уравне­ния.

, (2.23)

.

Эта система имеет три решения:

1) x₁ = 0, x₂ = 0;

2) x₁ = 1, x₂ = -1;

3) x₁ = -1, x₂ = 1.

Каждая пара (x₁, x₂) есть координаты особой точки. Теперь надо определить тип каждой точки.

Запишем формулу Тейлора для разложения функции двух переменных в окрестности заданной точки (x₁ = 0, x₂ = 0). Линеаризуем систему (2.23).

,

.

Для точки (x₁= 0, x₂= 0) получаем:

,

.

Линеаризованные уравнения имеют вид:

,

.

Решаем, для чего составляем характеристическую матрицу pE  A.

Приравнивая нулю определитель этой матрицы, получаем характеристическое уравнение p² + 1 = 0. Оно имеет мнимые корни p₁ = j, p₂ = -j.

Заключаем: особая точка x₁= 0, x₂= 0 есть центр. Одно­временно – начало координат. Фазовые траектории в её ок­рестности – эллипсы.

Повторяем линеаризацию системы (4.7) для следующей точки: x₁= 1, x₂= -1.

,

.

Для точки (x₁ = 1, x₂ = -1) получаем:

,

.

Линеаризованные уравнения имеют вид:

,

.

Записываем характеристическое уравнение:

,

Корни характеристического уравнения действительные, разных знаков:

.

.

Заключаем: особая точка с координатами x₁= 1, x₂= -1 есть седло.

Линеаризуем систему (4.7) для точки с координатами: x₁= -1, x₂= 1.

,

.

Для точки (x₁= -1, x₂= 1) получаем:

,

.

Линеаризованные уравнения имеют вид:

,

.

Характеристическое уравнение:

Его корни действительные, разных знаков:

.

.

Заключаем: особая точка с координатами x₁ = -1, x₂ = 1 есть седло.

Фазовый портрет системы содержит один центр и два седла. Вид показан на рис. 2.23.

Рис. 2.23 . Фазовый портрет

нелинейной системы с тремя особыми точками.

2.10. Управление в фазовом пространстве.

Рассмотрим систему управления, содержащую двухпо­зиционное реле и объект управления, рис. 2.24.

Задающий сигнал определяет начальные условия. В режиме самоуправления υ = 0. Тогда  = υ – у = - у .

Реле имеет статическую характеристику, изображенную на рис. 2.25.

Объект управления описывается линейным дифференциаль­ным уравнением

Введем фазовые переменные: ,

, (2.25)

.

Исследуем поведение системы управления в фазовом пространстве.