2.8. Фазовые портреты нелинейной системы.

Так же, как и в линейной системе, процесс описывается нормальной системой уравнений

,

.

Но теперь функции и нелинейные.

Дифференциальные уравнения фазовых траекторий по­лучается исключением времени:

Особые точки находятся из условия:

,

То есть, определяются как общие корни двух уравнений:

, (2.21)

.

В отличие от линейной системы может быть несколько осо­бых точек.

Однако, особые точки могут быть лишь тех типов, что и в линей­ной системе: фокусы, узлы и сёдла.

Чтобы определить тип особой точки, надо составить со­ответствующие этой особой точке уравнение линейного при­ближения. Для этого уравнение (2.21) линеаризуют в окрест­ности точки. Получается два линейных уравнения и опреде­ление типа особой точки выполняется как для линейной сис­темы. Если особых точек несколько, линеаризация уравнений (2.21) выполняется для каждой.

В линейной системе всегда имеется только одно положе­ние равновесия, то есть только одна особая точка. Область притяжения этой особой точки (или область отталкивания) совпадает со всем фазовым пространством. Фазовые траек­тории нигде не пересекаются.

Фазовый портрет нелинейной системы может иметь две и более особые точки различных типов. Например, фазовый портрет на рис. 2.20. в начале координат располагается устойчивый фокус. На некотором расстоянии от него – седло.

х₂

х₁

Рис. 2.20. Фазовый портрет нелинейной системы,

содержащие две особые точки.

Область устойчивого режима показана штриховкой. Притяжение действует только в этой области. Притягивающая траектории точка называется “аттрактор”.

Если начальное воздействие таково, что изображающая точка оказалась внутри заштрихованной области, то фазовая траектория будет с течением времени стремиться к началу координат. По отношению к такому воздействию система устойчива.

Если начальное воздействие таково, что изображенная точка оказалась вне заштрихованной области – то фазовая траектория уходит в бесконечность. По отношению к такому воздействию система устойчива, т.е. устойчивость нелинейной системы зависит от величины воздействия.

В нелинейных системах возможно замыкание фазовых траекторий, тогда образуется предельный цикл, 2.21. Изображающая точка совершает периодическое движение по предельному циклу. Сам предельный цикл охватывает устойчивый фокус. Если изображающая точка сойдет с предельного цикла внутрь, она будет притягиваться аттрактором, фазовая траектория будет «наматываться» на начало координат. Изображающая точка на стороне будет притягиваться к предельному циклу. Наличие предельного цикла означает автоколебания.

В том случае, когда предельный цикл неустойчивый, колеба­ний в системе нет. Изображающая точка сходит с цикла либо внутрь, либо наружу. Внутри цикла область устойчивости (изображающая точка попадает в начало координат). Вне цикла – область неустойчивости, рис 2.22.

Если фазовый портрет нелинейной системы имеет не­сколько особых точек, значит, система реализует несколько видов движения. Область одного вида движения отделяется от области другого линиями, которые называются “сепарат­риссы”. Сепаратриссами могут быть также траектории, про­ходящие через сёдла. Например, как на рис. 2.20.

Возможно существование бесконечного числа точек рав­новесия в виде отрезка прямой. Такой фазовый портрет по­лучается для системы с нелинейным элементом типа реле с зоной нечувствительности.

Наконец, фазовый портрет некоторых нелинейных сис­тем вообще не имеют особых точек. Пример – фазовый порт­рет системы с гистерезисной релейной характеристикой.